تعتبر نظرية فيثاغورس واحدة من أشهر النتائج في جميع الرياضيات - فهي بسيطة بما يكفي لذكرها في سطر واحد، وعميقة بما يكفي لامتلاك أكثر من 370 برهانًا معروفًا. إليك كل ما تحتاج إلى معرفته، بدءًا من الصيغة وحتى التطبيقات العملية.
الصيغة
لأي مثلث قائم الزاوية (مثلث بزاوية 90 درجة):
a^2 + b^2 = c^2
حيث a و b هما الساقين (الجانبان اللذان يشكلان الزاوية القائمة) و c هو الوتر (الضلع المقابل للزاوية القائمة — دائمًا هو الضلع الأطول).
العثور على كل جانب
إيجاد الوتر (ج):
c = √(a^2 + b^2)
البحث عن الساق (أ):
a = √(c^2 - b^2)
البحث عن الساق الأخرى (ب):
b = √(c^2 - a^2)
أمثلة عملية
مثال 1: مثلث قائم الزاوية طول أرجله 3 سم و4 سم. أوجد الوتر.
- ج = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5 سم
مثال 2: سلم طوله 10 أمتار يرتكز على الحائط، وقاعدته على بعد 4 أمتار من الحائط. ما مدى ارتفاعها؟
- أ = √(10² - 4²) = √(100 - 16) = √84 ≈ 9.17 متر
##ثلاثيات فيثاغورس
ثلاثية فيثاغورس هي مجموعة من ثلاثة أرقام صحيحة تحقق a² + b² = c². غالبًا ما تظهر هذه المشكلات وتستحق الحفظ:
| أ | ب | ج |
|---|---|---|
| 3 | 4 | 5 |
| 5 | 12 | 13 |
| 8 | 15 | 17 |
| 7 | 24 | 25 |
| 20 | 21 | 29 |
أي مضاعف للثلاثية هو أيضًا ثلاثي: (6، 8، 10)، (9، 12، 15)، (15، 20، 25) كلها تعمل.
دليل بسيط
يستخدم الدليل الأكثر أناقة المناطق. ارسم مربعًا كبيرًا طول ضلعه (أ + ب). بداخله، قم بترتيب أربع نسخ من المثلث القائم الزاوية بأرجله a وb.
المثلثات الأربعة تشغل مساحة 4 × (½ab) = 2ab. يجب أن تكون المساحة المتبقية في المربع الكبير c² (المربع الموجود على الوتر).
المربع الكبير مساحته (أ + ب)² = أ² + 2أب + ب².
إذن: أ² + 2أب + ب² − 2أب = ج²
وبالتالي: a² + b² = c²
تطبيقات العالم الحقيقي
البناء والنجارة
يتم استخدام "قاعدة 3-4-5" يوميًا في مواقع البناء للتأكد من أن الزوايا مربعة تمامًا. قم بقياس 3 وحدات على طول جدار واحد، و4 وحدات على طول الجدار المجاور، ثم تأكد من أن القطر يقيس 5 وحدات بالضبط. إذا حدث ذلك، فإن الزاوية تكون 90 درجة بالضبط.
ملاحة
قبل نظام تحديد المواقع العالمي (GPS)، استخدم الملاحون النظرية باستمرار. إذا سافرت مسافة 30 كم شرقًا ثم 40 كم شمالًا، فإن مسافة الخط المستقيم من البداية هي √(30² + 40²) = √2500 = 50 كم.
تستخدم أنظمة GPS الحديثة امتدادًا ثلاثي الأبعاد للنظرية لحساب المسافات بين الإحداثيات.
أحجام الشاشة
يحتوي "تلفزيون 65 بوصة" على شاشة بقياس قطري 65 بوصة. إذا كنت تعرف نسبة العرض إلى الارتفاع (16:9)، فيمكنك العثور على العرض والارتفاع الدقيقين باستخدام النظرية. بالنسبة للشاشة مقاس 65 بوصة 16:9: العرض ≈ 56.7 بوصة، الارتفاع ≈ 31.9 بوصة.
الهندسة والفيزياء
تعتبر هذه النظرية أساسية في الهندسة الإنشائية (حساب الأقطار الحاملة)، ورسومات الكمبيوتر (عرض مشاهد ثلاثية الأبعاد)، والفيزياء (حساب المتجهات الناتجة - التأثير المشترك لقوتين في زوايا قائمة).
الامتداد ثلاثي الأبعاد: صيغة المسافة
تمتد نظرية فيثاغورس بشكل طبيعي إلى ثلاثة أبعاد:
d = √((x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2)
يُستخدم هذا في رسومات الكمبيوتر والمحاكاة الفيزيائية وحسابات نظام تحديد المواقع العالمي (GPS) وأي نظام يعمل بإحداثيات ثلاثية الأبعاد.
احسب نظرية فيثاغورس الآن
استخدم الآلة الحاسبة المجانية لإيجاد أي جانب من أضلاع المثلث القائم الزاوية بمعلومية الضلعين الآخرين. أدخل أي جانبين واحصل على الجانب الثالث على الفور، إلى جانب العمل خطوة بخطوة.