تقيس النتيجة z (أو النتيجة القياسية) عدد الانحرافات المعيارية لنقطة البيانات عن المتوسط. فهو يحول الدرجات الأولية إلى مقياس موحد يتيح المقارنة عبر مجموعات البيانات المختلفة.
صيغة Z-Score
z = (x − μ) ÷ σ
أين:
- x = نقطة بيانات فردية
- μ (mu) = متوسط عدد السكان
- σ (سيجما) = الانحراف المعياري للسكان
للحصول على عينة، استبدل μ بـ x̄ (متوسط العينة) وσ بـ s (عينة SD).
مثال عملي
طالب يحصل على 72 درجة في الامتحان. المتوسط الفصلي 65 والانحراف المعياري 8.
z = (72 − 65) ÷ 8 = 7 ÷ 8 = 0.875
حصل هذا الطالب على 0.875 انحراف معياري فوق المتوسط.
تفسير نتائج Z
| درجة Z | تفسير | النسبة المئوية (تقريبًا) |
|---|---|---|
| -3 | أقل من المتوسط للغاية | 0.1% |
| -2 | أقل بكثير من المتوسط | 2.3% |
| -1 | أقل من المتوسط | 15.9% |
| 0 | في المتوسط | 50.0% |
| +1 | فوق المتوسط | 84.1% |
| +2 | أعلى بكثير من المتوسط | 97.7% |
| +3 | فوق المتوسط للغاية | 99.9% |
القاعدة 68-95-99.7
في التوزيع الطبيعي:
- 68% من البيانات تقع ضمن الانحراف المعياري ±1
- 95% ضمن ±2 انحرافات معيارية
- 99.7% ضمن ±3 انحرافات معيارية
تحويل Z-Score إلى النسبة المئوية
بمجرد حصولك على درجة z، ابحث عن الجدول العادي القياسي (جدول Z) أو استخدم:
Percentile = Φ(z) × 100
حيث Φ هي دالة التوزيع الطبيعي التراكمي.
مثال: z = 1.5 → Φ(1.5) = 0.9332 → المئين 93.3
تطبيقات Z-Scores
تمويل:
- Altman Z-Score يتنبأ بمخاطر الإفلاس
- يستخدم في إدارة المخاطر لتحديد القيم المتطرفة
الرعاية الصحية:
- مؤشر كتلة الجسم للعمر Z-عشرات للأطفال
- كثافة العظام (DXA) T-score هي شكل من أشكال Z-score
ضبط الجودة:
- يستخدم Six Sigma نقاط Z لقياس قدرة العملية
- عملية "6 سيجما" لها درجة Z تبلغ 6 (3.4 عيوب لكل مليون)
توحيد درجات الاختبار:
- درجات معدل الذكاء: متوسط 100، SD 15 (درجة Z +2 → معدل الذكاء 130)
- درجات اختبار SAT: المتوسط 1000، SD 200 (مقياسة من الدرجات z)
مقارنة النتائج عبر الاختبارات المختلفة
مثال: حصلت أليس على 80 درجة في الاختبار أ (المتوسط 70، SD 10). سجل بوب 55 درجة في الاختبار ب (المتوسط 40، SD 8).
Alice's z = (80 − 70) ÷ 10 = 1.0
Bob's z = (55 − 40) ÷ 8 = 1.875
على الرغم من انخفاض النتيجة الأولية، كان أداء بوب أفضل مقارنةً بأقرانه.