العدد الأولي هو عدد صحيح أكبر من 1 وله عاملان بالضبط: 1 ونفسه. الأعداد الأولية هي اللبنات الأساسية لجميع الأعداد الصحيحة، حيث يمكن التعبير عن كل عدد صحيح كحاصل ضرب الأعداد الأولية.
أول 25 رقمًا أوليًا
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97
لاحظ أن 2 هو العدد الأولي الوحيد. جميع الأرقام الزوجية الأخرى قابلة للقسمة على 2.
الطريقة الأولى: قسم المحاكمة
إن أبسط طريقة لاختبار ما إذا كان الرقم أوليًا هي التحقق مما إذا كان أي رقم يصل إلى جذره التربيعي يقسمه بالتساوي.
الفكرة الأساسية: إذا كان n يحتوي على عامل أكبر من √n، فإنه يحتوي أيضًا على عامل مناظر أقل من √n. لذلك ما عليك سوى التحقق من √n.
الخوارزمية:
- إذا كان n <2، ليس أوليًا
- إذا كان n = 2، فهو أولي
- إذا كانت n زوجية (باستثناء 2)، فهي ليست أولية
- تحقق من جميع الأعداد الفردية من 3 إلى √n
- إذا كان هناك أي قسمة n بالتساوي، وليس أوليًا
- خلاف ذلك، رئيس الوزراء
مثال: هل العدد 97 عدد أولي؟
√97 ≈ 9.85، لذا تحقق من الأعداد الأولية حتى 9: 2، 3، 5، 7
- 97 ÷ 2 = 48.5 (غير كامل)
- 97 ÷ 3 = 32.33... (غير كامل)
- 97 ÷ 5 = 19.4 (غير كامل)
- 97 ÷ 7 = 13.86 (غير كامل)
لم يتم العثور على مقسومات — 97 عدد أولي.
مثال: هل العدد 91 عدد أولي؟
√91 ≈ 9.54، تحقق حتى 9: 2، 3، 5، 7
- 91 ÷ 7 = 13 (عدد صحيح!)
91 ليس أوليًا — 91 = 7 × 13.
الطريقة الثانية: غربال إراتوستينس
يجد غربال إراتوستينس جميع الأعداد الأولية حتى حد معين. إنها سريعة وأنيقة، اخترعها عالم الرياضيات اليوناني إراتوستينس حوالي عام 240 قبل الميلاد.
للعثور على جميع الأعداد الأولية حتى 50:
- اكتب الأرقام من 2 إلى 50
- ابدأ بالرقم 2 (العدد الأولي الأول). شطب جميع مضاعفات العدد 2 (4، 6، 8...)
- انتقل إلى الرقم التالي غير المتقاطع: 3. شطب مضاعفات الرقم 3 (9، 15، 21...)
- التالي غير المتقاطع: 5. شطب مضاعفات العدد 5 (25، 35...)
- التالي غير المتقاطع: 7. شطب مضاعفات العدد 7 (49...)
- توقف عندما تصل إلى √50 ≈ 7.07
- جميع الأعداد المتبقية غير المتقاطعة هي أعداد أولية
** الأعداد الأولية حتى 50: ** 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47
الأعداد الأولية حتى 100: القائمة الكاملة
| يتراوح | الأعداد الأولية |
|---|---|
| 1-10 | 2, 3, 5, 7 |
| 11-20 | 11, 13, 17, 19 |
| 21-30 | 23, 29 |
| 31-40 | 31, 37 |
| 41-50 | 41, 43, 47 |
| 51-60 | 53, 59 |
| 61-70 | 61, 67 |
| 71-80 | 71, 73, 79 |
| 81-90 | 83, 89 |
| 91-100 | 97 |
هناك 25 عدداً أولياً أقل من 100.
اختبارات قابلية القسمة السريعة
قبل إجراء القسمة الكاملة، تحقق من القواعد التالية:
| قابلة للقسمة على | لو... |
|---|---|
| 2 | الرقم الأخير هو (0،2،4،6،8) |
| 3 | مجموع الأرقام القابلة للقسمة على 3 |
| 5 | الرقم الأخير هو 0 أو 5 |
| 7 | لا توجد قاعدة بسيطة - فقط قم بالتقسيم |
| 11 | مجموع الأرقام المتناوبة قابل للقسمة على 11 |
مثال: هل العدد 143 عدد أولي؟
- ولا حتى ✓
- 1+4+3 = 8، لا يقبل القسمة على 3 ✓
- لا ينتهي بالرقم 0 أو 5 ✓
- √143 ≈ 11.96، تحقق حتى 11
- 143 ÷ 7 = 20.43 ✓
- 143 ÷ 11 = 13 - قابل للقسمة!
143 = 11 × 13. ليس أوليًا.
لماذا الأعداد الأولية مهمة؟
التشفير: يعتمد تشفير RSA - المستخدم لتأمين الخدمات المصرفية عبر الإنترنت وHTTPS والبريد الإلكتروني - على حقيقة أن ضرب عددين أوليين كبيرين أمر سهل، ولكن تحليل النتيجة مرة أخرى إلى أعداد أولية أمر صعب للغاية.
علوم الكمبيوتر: تستخدم جداول التجزئة ومولدات الأرقام العشوائية والمجاميع الاختبارية خصائص الأعداد الأولية.
الرياضيات البحتة: يظل توزيع الأعداد الأولية أحد أعمق المشكلات التي لم يتم حلها في الرياضيات - فرضية ريمان.
حقائق رئيسية مثيرة للاهتمام
- أكبر عدد أولي معروف (اعتبارًا من عام 2024) يحتوي على أكثر من 41 مليون رقم
- الأعداد الأولية التوأم هي أعداد أولية تختلف بمقدار 2 (11 و13، 17 و19، 41 و43)
- هناك عدد لا نهائي من الأعداد الأولية، أثبتها إقليدس حوالي عام 300 قبل الميلاد
- حدسية غولدباخ (غير مثبتة منذ 1742): كل عدد زوجي > 2 هو مجموع عددين أوليين