المعادلة التربيعية لها الصيغة ax² + bx + c = 0. هناك أربع طرق لحلها - معرفة أي منها يجب استخدامه ومتى يجعل الجبر أسرع بكثير.
النموذج القياسي
يمكن كتابة كل معادلة تربيعية على النحو التالي:
ax² + bx + c = 0
حيث أ ≠ 0 (إذا كانت أ = 0، فهي معادلة خطية).
أمثلة:
- x² − 5x + 6 = 0 (أ=1، ب=−5، ج=6)
- 2x² + 3x − 2 = 0 (أ=2، ب=3، ج=−2)
- x² − 9 = 0 (أ=1، ب=0، ج=−9)
الطريقة الأولى: التخصيم
يعمل بشكل أفضل عندما يتم تحليل المعادلة بشكل واضح إلى أعداد صحيحة. أسرع طريقة عند الاقتضاء.
خطوات:
- اكتب بالشكل القياسي
- ابحث عن رقمين يضربان في (أ × ج) ويضافان إلى ب
- قم بتقسيم الحد الأوسط إلى عوامل حسب التجميع
- اجعل كل عامل يساوي الصفر
مثال: x² − 5x + 6 = 0
- بحاجة إلى رقمين: اضربهما في 6 وأضفهما إلى −5 → −2 و−3
- العامل: (س − 2)(س − 3) = 0
- الحلول: س = 2 أو س = 3
مثال: 2x² + 5x + 3 = 0
- أ × ج = 6، بحاجة إلى إضافة عوامل إلى 5 → 2 و3
- أعد الكتابة: 2x² + 2x + 3x + 3 = 0
- العامل: 2س(س + 1) + 3(س + 1) = 0
- العامل: (2س + 3)(س + 1) = 0
- الحلول: x = −3/2 أو x = −1
متى تستخدم: عندما تتمكن من اكتشاف العوامل بسرعة. إذا لم تجد العوامل خلال 30 ثانية، بدّل الطرق.
الطريقة الثانية: الصيغة التربيعية
يعمل مع كل المعادلة التربيعية. استخدم هذا عندما يكون التخصيم غير واضح.
x = (−b ± √(b² − 4ac)) ÷ (2a)
مثال: 2x² + 3x − 2 = 0 (أ=2، ب=3، ج=−2)
- المميز: ب² − 4أ = 9 − (4 × 2 × −2) = 9 + 16 = 25
- √25 = 5
- س = (−3 ± 5) ÷ 4
- س = (−3 + 5) ÷ 4 = 0.5 أو x = (−3 − 5) ÷ 4 = −2
التمييز: ما عدد الحلول؟
يخبرك التعبير b² − 4ac بطبيعة الحلول قبل الحل:
| مميز | عدد الحلول | يكتب |
|---|---|---|
| ب² − 4أك > 0 | حلين حقيقيين متميزين | أرقام حقيقية |
| ب² − 4أ = 0 | حل واحد متكرر | جذور حقيقية ومتساوية |
| ب² − 4ac <0 | لا حلول حقيقية | جذران معقدان/خياليان |
مثال: x² + 2x + 5 = 0
- المميز = 4 − 20 = −16 → لا توجد حلول حقيقية
- الحلول المعقدة: x = (−2 ± √(−16)) ÷ 2 = −1 ± 2i
الطريقة الثالثة: إكمال المربع
يحول المعادلة إلى (x + p)² = q. ضروري لفهم شكل قمة الرأس واستخلاص الصيغة التربيعية.
خطوات:
- انقل الثابت إلى الجانب الأيمن
- اقسم على (إذا كان ≠ 1)
- أضف (ب/2أ)² إلى كلا الجانبين
- عامل الجانب الأيسر كمربع كامل
- خذ الجذر التربيعي لكلا الطرفين
مثال: x² + 6x + 5 = 0
- س² + 6س = −5
- أضف (6/2)² = 9 للطرفين: x² + 6x + 9 = 4
- (س + 3)² = 4
- س + 3 = ±2
- س = −1 أو س = −5
الطريقة الرابعة: الرسوم البيانية
الحلول (الجذور) هي تقاطعات x للقطع المكافئ y = ax² + bx + c.
- تقاطعان x → حلان حقيقيان
- تقاطع x واحد (الرأس على المحور x) ← حل واحد متكرر
- لا توجد تقاطعات x → لا توجد حلول حقيقية (جذور معقدة)
متى يتم الاستخدام: للفهم البصري أو عند استخدام الآلة الحاسبة الرسومية. غير عملي للحصول على إجابات دقيقة.
اختيار الطريقة الصحيحة
| الموقف | أفضل طريقة |
|---|---|
| معاملات الأعداد الصحيحة، تبدو قابلة للتحليل | التخصيم أولا |
| أي معادلة تربيعية، تحتاج إلى إجابة دقيقة | الصيغة التربيعية |
| فهم الرأس/الحد الأدنى/الحد الأقصى | استكمال الساحة |
| الفهم البصري أو التقريب | الرسوم البيانية |
| ب² − 4ac <0 | الصيغة التربيعية (تعطي جذور معقدة) |
مرجع سريع: الأنماط الشائعة
الفرق بين المربعات: x² − k² = (x + k)(x − k) = 0 → x = ±k
ثلاثية الحدود المربعة الكاملة: x² + 2kx + k² = (x + k)² = 0 → x = −k (متكرر)
لا يوجد حد وسط: ax² + c = 0 → x = ±√(−c/a) (حقيقي فقط إذا كان c وa لهما إشارات متضادة)
مجموع ومنتج الجذور
بالنسبة إلى ax² + bx + c = 0 مع الجذور r₁ وr₂:
r₁ + r₂ = −b/a
r₁ × r₂ = c/a
مثال للتحقق: x² − 5x + 6 = 0، الجذور 2 و3:
- المجموع: 2 + 3 = 5 = −(−5)/1 ✓
- الناتج : 2 × 3 = 6 = 6/1 ✓
استخدم أداة حل المعادلات التكعيبية الخاصة بنا لمعادلات الدرجة 3، أو قم بتطبيق الصيغة التربيعية أعلاه لأي معادلة تربيعية قياسية.