التوزيع الطبيعي (أو التوزيع الغوسي) هو التوزيع الاحتمالي الأكثر أهمية في الإحصاء. وهو يصف عدد الظواهر الطبيعية الموزعة - درجات الاختبار، والارتفاعات، وأخطاء القياس، وعائدات المخزون - وهو أساس معظم الاستدلال الإحصائي واختبار الفرضيات.
الصيغة
دالة الكثافة الاحتمالية للتوزيع الطبيعي هي:
f(x) = (1 / (σ√(2π))) × e^(-(x-μ)²/(2σ²))
أين:
- μ (mu) = المتوسط (مركز التوزيع)
- σ (سيجما) = الانحراف المعياري (انتشار التوزيع)
- x = القيمة التي تقوم بتقييمها
- ه ≈ 2.71828
- ط ≈ 3.14159
الشكل منحني على شكل جرس، وحوالي 68% من القيم تقع ضمن انحراف معياري واحد عن المتوسط، و95% ضمن انحرافين معياريين، و99.7% ضمن 3 انحرافات معيارية (قاعدة 68-95-99.7).
مثال عملي
اختبار موحد متوسطه 100 وانحرافه المعياري 15. ما احتمال أن تكون النتيجة العشوائية أقل من 115؟
أولاً، قم بالتحويل إلى درجة z:
z = (115 - 100) / 15 = 1.0
والنتيجة z التي تبلغ 1.0 تعني أن 115 يمثل انحرافًا معياريًا واحدًا فوق المتوسط. باستخدام جدول عادي أو آلة حاسبة عادية، P(z ≥ 1.0) ≈ 0.8413 أو 84.13%.
لذا فإن حوالي 84% من المتقدمين للاختبار حصلوا على درجات أقل من 115.
الخصائص الرئيسية
يتم تعريف التوزيع الطبيعي بالكامل من خلال متوسطه وانحرافه المعياري. يؤدي إزاحة المتوسط إلى تحريك المنحنى إلى اليسار أو اليمين؛ زيادة الانحراف المعياري يؤدي إلى تسطيحه وتوسيعه. المساحة الإجمالية تحت المنحنى تساوي دائمًا 1.
يمكن تحويل أي توزيع طبيعي إلى التوزيع الطبيعي القياسي (المتوسط 0، الانحراف المعياري 1) باستخدام صيغة z-score أعلاه. يتيح لك هذا التوحيد استخدام جدول عادي عالمي واحد.
متى يستخدم
استخدم التوزيع الطبيعي عندما:
- مجموعات البيانات حول قيمة مركزية
- تتبع القيم رسمًا بيانيًا على شكل جرس
- تنطبق نظرية الحد المركزي (عينة من أي توزيع طبيعي تقريبي)
- أنت تقوم باختبار الفرضيات أو فترات الثقة
تتبع معظم البيانات المستمرة في العالم الحقيقي تقريبًا التوزيع الطبيعي، مما يجعل هذا العمود الفقري للإحصاءات التطبيقية.
نصائح
تحقق من الحالة الطبيعية باستخدام الرسم البياني أو مؤامرة Q-Q قبل افتراض أن البيانات طبيعية. إذا كانت البيانات منحرفة بشكل كبير أو تحتوي على قيم متطرفة، فقد لا يكون التوزيع الطبيعي مناسبًا. بالنسبة للبيانات غير العادية، استخدم الاختبارات غير المعلمية أو تحويل البيانات.
استخدم حاسبة التوزيع الطبيعي للعثور على الاحتمالات والنسب المئوية ودرجات z على الفور.