ترتيب العمليات (PEMDAS/BODMAS): الدليل الكامل مع الأمثلة

إذا حصلت على إجابة لمسألة رياضية مختلفة عن أي شخص آخر - وكنتما متأكدين من أنكما على حق - فمن المؤكد تقريبًا أن السبب هو ترتيب العمليات.

ترتيب العمليات عبارة عن مجموعة من القواعد التي تخبرك بأي جزء من التعبير الرياضي يجب حسابه أولاً. بدون هذه القواعد، يمكن أن ينتج عن نفس التعبير إجابات مختلفة اعتمادًا على من يقوم بحلها.

ما هو PEMDAS / BODMAS؟

PEMDAS (المستخدم في الولايات المتحدة الأمريكية) وBODMAS (المستخدم في المملكة المتحدة والهند وأستراليا) هما اختصاران لنفس مجموعة القواعد - مع اختلاف طفيف في الصياغة.

بيمداس	بودماس
P الأقواس	ب مضارب
E الأسس	Oorders (القوى والجذور)
م الضرب	**قسم
**قسم	م الضرب
**إضافة	**إضافة
S الطرح	S الطرح

الترتيب هو: الأقواس ← القوى ← القسمة/الضرب ← الجمع/الطرح

ملاحظة: القسمة والضرب لهما أولوية متساوية (من اليسار إلى اليمين). الجمع والطرح لهما أولوية متساوية (من اليسار إلى اليمين).

لماذا نحتاج إلى هذه القواعد؟

بدون أمر متفق عليه، سيكون التعبير CODE0 غامضًا:

إذا أضفت أولاً: (2 + 3) × 4 = 5 × 4 = 20
إذا قمت بالضرب أولاً: 2 + (3 × 4) = 2 + 12 = 14

القواعد المتفق عليها تقول أن الضرب يأتي قبل الجمع، لذا فإن الإجابة الصحيحة هي 14.

شرح القواعد

1. الأقواس / الأقواس أولاً

قم دائمًا بحل ما هو موجود داخل الأقواس قبل أي شيء آخر.

(3 + 4) × 2 = 7 × 2 = 14

الأقواس المتداخلة: العمل من الداخل إلى الخارج.

2 × (3 + (4 − 1)) = 2 × (3 + 3) = 2 × 6 = 12

2. الأسس / الأوامر (القوى والجذور)

بعد الأقواس، احسب أي قوى أو جذور تربيعية.

2 + 3² = 2 + 9 = 11

4 × √16 = 4 × 4 = 16

3. الضرب والقسمة (من اليسار إلى اليمين)

هاتين العمليتين لهما أولوية متساوية. عندما يظهرون معًا، اعمل من اليسار إلى اليمين.

12 ÷ 4 × 3 = 3 × 3 = 9    ✓ (left to right)
12 ÷ 4 × 3 ≠ 12 ÷ 12 = 1  ✗ (doing × before ÷ is wrong)

4. الجمع والطرح (من اليسار إلى اليمين)

نفس المبدأ - أولوية متساوية، العمل من اليسار إلى اليمين.

10 − 3 + 2 = 7 + 2 = 9    ✓
10 − 3 + 2 ≠ 10 − 5 = 5   ✗

أمثلة عملية

مثال 1: أساسي

8 + 2 × 5 − 3
= 8 + 10 − 3        (multiplication first)
= 18 − 3            (left to right)
= 15

مثال 2: مع الأقواس

(8 + 2) × (5 − 3)
= 10 × 2            (brackets first)
= 20

مثال 3: مع الأسس

3 + 4² ÷ 2
= 3 + 16 ÷ 2        (exponent first)
= 3 + 8             (division before addition)
= 11

مثال 4: معقد

5 × (2 + 3)² − 10 ÷ 2
= 5 × 5² − 10 ÷ 2   (brackets first)
= 5 × 25 − 10 ÷ 2   (exponent)
= 125 − 5           (× and ÷ left to right)
= 120

المثال 5: المشكلة الفيروسية الكلاسيكية

CODE0 - ينتشر هذا التعبير بانتظام لأن الناس يختلفون على الإجابة.

Step 1: Bracket → 1 + 2 = 3
Step 2: Expression becomes 6 ÷ 2 × 3
Step 3: Left to right → 6 ÷ 2 = 3, then 3 × 3 = 9

الجواب هو 9. ينشأ الالتباس لأن بعض الأشخاص يتعاملون مع CODE0 كمصطلح واحد. في التقاليد الرياضية القياسية، يكون للقسمة والضرب أولوية متساوية ويتم تقييمهما من اليسار إلى اليمين.

مشاكل الممارسة

جرب هذه قبل التحقق من الإجابات:

الكود0
الكود0
الكود0
الكود0
الكود0

الإجابات:

3 + 8 = 11
7 × 2 = 14
8 + 12 − 5 = 15
20 ÷ 5 × 4 = 4 × 4 = 16
6 + 2 × 9 − 2 = 6 + 18 − 2 = 22

##أخطاء شائعة

** التعامل مع الضرب قبل القسمة كقاعدة صارمة ** — الضرب والقسمة لهما أولوية متساوية. اعمل دائمًا من اليسار إلى اليمين عندما يظهر كلاهما معًا.

نسيان التعامل مع الأقواس المتداخلة من الداخل إلى الخارج — قم بحل الأقواس الداخلية أولاً.

تطبيق الأسس على الجزء الخاطئ — في CODE0، ينطبق الأسس فقط على 3، مما يمنحك -(9) = -9، وليس (-3)² = 9. استخدم الأقواس: CODE1 إذا كنت تريد تربيع الرقم السالب.

تجاهل الضرب الضمني — CODE0 يعني CODE1 . ويتبع نفس القواعد مثل الضرب الصريح.

لماذا يعطي BODMAS وPEMDAS نفس الإجابة

على الرغم من اختلاف الأسماء، فإن كلا المختصرين يصفان نفس الأولوية. في BODMAS، يمثل "DM" القسمة والضرب معًا (أولوية متساوية). في PEMDAS، يمثل "MD" بالمثل الضرب والقسمة معًا. ترتيب الاختصار لا يعني أن الضرب يأتي قبل القسمة، فهما متساويان.

البطاقة المرجعية السريعة

أولوية	عملية	مثال
الأول	بين قوسين / قوسين	(3 + 4)
الثاني	الدعاة / أوامر	2³، √9
الثالث=	الضرب	4 × 5
الثالث=	قسم	20 ÷ 4
الرابع=	إضافة	7 + 3
الرابع=	الطرح	10 - 4