يخبرك الانحراف المعياري بمدى انتشار البيانات حول المتوسط. الانحراف المعياري الصغير يعني مجموعات البيانات بإحكام؛ واحدة كبيرة تعني أنها منتشرة على نطاق واسع.
لماذا يهم الانحراف المعياري
متوسط فصلين 75٪ في الاختبار. لكن في الفئة (أ)، تتراوح الدرجات بين 70-80%. وفي الفئة ب تتراوح الدرجات بين 40-100%. يخفي المتوسط معلومات مهمة، بينما يكشفها الانحراف المعياري.
الصيغة
بالنسبة لـ السكان (جميع البيانات):
σ = √[ Σ(x - μ)² / N ]
للحصول على عينة (مجموعة فرعية من البيانات):
s = √[ Σ(x - x̄)² / (n-1) ]
أين:
- σ (سيجما) = الانحراف المعياري للسكان
- s = نموذج الانحراف المعياري
- س = كل قيمة
- μ أو x̄ = يعني
- N = حجم السكان، n = حجم العينة
تقسم صيغة العينة على n-1 (وليس n) لتصحيح التحيز عند التقدير من مجموعة فرعية.
مثال خطوة بخطوة
البيانات: 4، 7، 13، 2، 9 (عينة من 5 قيم)
الخطوة 1: حساب المتوسط:
Mean = (4 + 7 + 13 + 2 + 9) / 5 = 35 / 5 = 7
الخطوة 2: اطرح المتوسط من كل قيمة ومربع:
| س | س - يعني | (س - يعني)² |
|---|---|---|
| 4 | -3 | 9 |
| 7 | 0 | 0 |
| 13 | 6 | 36 |
| 2 | -5 | 25 |
| 9 | 2 | 4 |
الخطوة 3: جمع الفروق المربعة: 9 + 0 + 36 + 25 + 4 = 74
الخطوة 4: القسمة على n-1 = 4: 74 / 4 = 18.5
الخطوة 5: خذ الجذر التربيعي: √18.5 ≈ 4.30
الانحراف المعياري = 4.30
القاعدة 68-95-99.7
للبيانات الموزعة بشكل طبيعي:
- 68% من القيم تقع ضمن الانحراف المعياري ±1 للمتوسط
- 95% تقع ضمن ±2 انحرافات معيارية
- 99.7% تقع ضمن ±3 انحرافات معيارية
مثال: الارتفاعات بمتوسط 170 سم، SD 10 سم:
- 68% تتراوح أطوالهم بين 160-180 سم
- 95% منها ما بين 150-190 سم
تطبيقات العالم الحقيقي
- التمويل: يقيس تقلبات الاستثمار (المخاطر)
- التصنيع: مراقبة الجودة — المنتجات خارج نطاق ±3σ هي عيوب
- الطب: تحديد نتائج الاختبار غير الطبيعية
- التعليم: الدرجات على منحنى
استخدم حاسبة الانحراف المعياري لحساب المتوسط والوسيط والتباين والانحراف المعياري لأي مجموعة بيانات.