تقيس النتيجة z عدد الانحرافات المعيارية للقيمة عن المتوسط. إنه أساس الاستدلال الإحصائي، مما يسمح لك بتحويل أي توزيع طبيعي إلى مقياس موحد حيث يمكنك العثور على الاحتمالات باستخدام جدول عادي عالمي أو آلة حاسبة.
الصيغة
z = (x - μ) / σ
أين:
- x = القيمة التي تقوم بتقييمها
- μ (mu) = متوسط عدد السكان
- σ (سيجما) = الانحراف المعياري للسكان
تعني الدرجة z التي تبلغ 0 أن القيمة تساوي المتوسط. درجات z الإيجابية أعلى من المتوسط؛ درجات z السلبية أدناه. يخبرك الحجم بالمسافة في الانحرافات المعيارية.
مثال عملي
امتحان القبول بالكلية متوسطه 500 والانحراف المعياري 100. لقد حصلت على 650. ما هي درجة z الخاصة بك؟
z = (650 - 500) / 100 = 150 / 100 = 1.5
درجاتك هي 1.5 الانحرافات المعيارية فوق المتوسط. باستخدام الجدول العادي القياسي، P(z ≥ 1.5) ≈ 0.9332، مما يعني أن حوالي 93.32% من المتقدمين للاختبار حصلوا على درجات أقل منك.
استخدام جداول Z-Score
بعد حساب z، يمكنك البحث عن احتمالاته في جدول عادي قياسي، والذي يعطي الاحتمالات التراكمية P(Z ≥ z). تظهر الجداول:
- الاحتمالات أحادية الطرف: P(Z ≥ z) أو P(Z ≥ z)
- الاحتمالات ثنائية الذيل: مفيدة لفترات الثقة واختبارات الفرضيات
على سبيل المثال، z = 1.96 يتوافق مع P(Z ≥ 1.96) ≈ 0.975. المساحة في كلا الطرفين بعد z = ±1.96 هي 0.05، ولهذا السبب 1.96 هي القيمة الحرجة لفواصل الثقة 95%.
قطع Z-Score الشائع
| Z-النتيجة | الاحتمال التراكمي | المئوي |
|---|---|---|
| -3 | 0.0013 | 0.13 |
| -2 | 0.0228 | 2.28 |
| -1 | 0.1587 | 15.87 |
| 0 | 0.5000 | الخمسين |
| 1 | 0.8413 | 84.13 |
| 2 | 0.9772 | 97.72 |
| 3 | 0.9987 | 99.87 |
متى يستخدم
تُعد درجات Z ضرورية من أجل:
- مقارنة القيم من توزيعات مختلفة
- إيجاد الاحتمالات باستخدام التوزيع الطبيعي
- تحديد القيم المتطرفة (عادة |z| > 3)
- اختبار الفرضيات وفترات الثقة
- توحيد درجات الاختبارات
نصائح
تعمل نقاط Z فقط مع البيانات الموزعة بشكل طبيعي. إذا كان التوزيع الخاص بك منحرفًا بشدة أو ذو ذيول ثقيلة، فستكون نقاط z مضللة. تذكر أيضًا الفرق بين z (المعلمة السكانية) وt (إحصائية العينة) — استخدم z عندما تكون σ معروفة، وt عند تقديرها من العينة.
استخدم Z-Score Calculator لتحويل النتائج إلى Z-scores والعثور على الاحتمالات على الفور.