Кръговете се срещат навсякъде — колела, тръби, кръгли стаи, пица, планети. Две измервания определят напълно всеки кръг: обиколката (разстоянието около ръба) и лицето (пространството вътре). И двете се извеждат директно от една стойност: радиуса.

Основни понятия

Радиус (r): Разстоянието от центъра на кръга до всяка точка на ръба му. Това е основното измерване — всички формули за кръг го използват.

Диаметър (d): Разстоянието през кръга, минаващо през центъра. Винаги е точно двойно на радиуса: d = 2r.

Обиколка (C): Периметърът на кръга — общото разстояние около външния ръб.

Лице (A): Количеството двуизмерно пространство, оградено от кръга.

π (пи): Отношението на обиколката на всеки кръг към неговия диаметър. Ирационално число (безкрайно, непериодично), приближено равно на 3.14159265...

Формула за обиколка

C = 2πr    или еквивалентно    C = πd

Пример: Кръг с радиус 5 см

C = 2 × π × 5 = 10π ≈ 31.42 см

По диаметър: Ако е даден диаметърът директно:

C = π × d = π × 10 = 10π ≈ 31.42 см

И двата начина дават същия отговор — изберете каквото измерване имате.

Формула за лице

A = πr²

Пример: Същият кръг с радиус 5 см

A = π × 5² = 25π ≈ 78.54 см²

Забележка: лицето е винаги в квадратни единици (см², м², кв. инча). Обиколката е в линейни единици (см, м, инча).

Намиране на радиуса от обиколката или лицето

Понякога знаете обиколката или лицето и трябва да намерите радиуса.

Радиус от обиколката:

r = C / (2π)

Радиус от лицето:

r = √(A / π)

Диаметър от обиколката:

d = C / π

Пример: Кръгово поле с обиколка 150 м. Какво е лицето му?

Стъпка 1: Намерете радиуса

r = 150 / (2π) = 150 / 6.2832 = 23.87 м

Стъпка 2: Намерете лицето

A = π × 23.87² = π × 569.8 ≈ 1 790 м²

Чести примери

Напречно сечение на тръба

Тръба с вътрешен диаметър 40 мм. Какво е напречното сечение?

r = 40 / 2 = 20 мм
A = π × 20² = 400π ≈ 1 257 мм²

Писта за бягане

Кръгла писта с радиус 40 м. Колко е разстоянието за един кръг?

C = 2π × 40 = 80π ≈ 251.3 м

Сравнение на размерите на пица

Пица с диаметър 14 инча повече ли е от две пици с диаметър 10 инча?

Пица 14 инча:

A = π × 7² = 49π ≈ 153.9 кв. инча

Две пици 10 инча:

A = 2 × π × 5² = 2 × 25π = 50π ≈ 157.1 кв. инча

Двете пици 10 инча дават малко повече пица — но само ако цената е съпоставима.

Сектори и дъги

Сектор е „парче" от кръг (като парче пай), определено от централен ъгъл θ.

Дължина на дъгата (извитият ръб на сектора):

Дъга = (θ / 360) × 2πr    [градуси]
Дъга = θr                   [радиани]

Лице на сектора:

Лице на сектора = (θ / 360) × πr²    [градуси]
Лице на сектора = ½r²θ               [радиани]

Пример: Сектор с радиус 8 см и централен ъгъл 45°

Дължина на дъгата = (45 / 360) × 2π × 8 = (1/8) × 16π = 2π ≈ 6.28 см
Лице на сектора = (45 / 360) × π × 64 = (1/8) × 64π = 8π ≈ 25.13 см²

Пръстен (пръстеновидна форма)

Пръстенът е областта между два концентрични кръга с радиуси R (външен) и r (вътрешен).

Лице на пръстена = π(R² − r²) = π(R + r)(R − r)

Пример: Кръгова рамка с външен радиус 10 м и вътрешен радиус 7 м:

Лице = π(10² − 7²) = π(100 − 49) = 51π ≈ 160.2 м²

Обобщение на формулите

Измерване Формула
Обиколка C = 2πr = πd
Лице A = πr²
Радиус от C r = C / (2π)
Радиус от A r = √(A/π)
Дължина на дъга (градуси) Дъга = (θ/360) × 2πr
Лице на сектор (градуси) A = (θ/360) × πr²
Лице на пръстен A = π(R² − r²)

Използвайте нашия калкулатор за кръг, за да изчислите всяко измерване — въведете една стойност и получете всички останали незабавно.