Питагоровата теорема е един от най-известните резултати в цялата математика — достатъчно проста, за да се изрази в един ред, достатъчно задълбочена, за да има над 370 известни доказателства. Ето всичко, което трябва да знаете, от формулата до практическите приложения.
Формулата
За всеки правоъгълен триъгълник (триъгълник с един ъгъл от 90°):
a^2 + b^2 = c^2
Където a и b са двата катета (страните, които образуват прав ъгъл), а c е хипотенузата (страната срещу правия ъгъл — винаги най-дългата страна).
Намиране на всяка страна
Намиране на хипотенузата (c):
c = √(a^2 + b^2)
Намиране на крак (a):
a = √(c^2 - b^2)
Намиране на другия крак (b):
b = √(c^2 - a^2)
Работени примери
Пример 1: Правоъгълен триъгълник има катети 3 cm и 4 cm. Намерете хипотенузата.
- c = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5 cm
Пример 2: Стълба с дължина 10 метра е облегната на стена, като основата й е на 4 метра от стената. Колко високо достига?
- a = √(10² - 4²) = √(100 - 16) = √84 ≈ 9,17 метра
Питагорови тройки
Питагоровата тройка е набор от три цели числа, които отговарят на a² + b² = c². Те се появяват често при проблеми и си струва да ги запомните:
| а | b | c |
|---|---|---|
| 3 | 4 | 5 |
| 5 | 12 | 13 |
| 8 | 15 | 17 |
| 7 | 24 | 25 |
| 20 | 21 | 29 |
Всяко кратно на тройка също е тройка: (6, 8, 10), (9, 12, 15), (15, 20, 25) всичко работи.
Просто доказателство
Най-елегантното доказателство използва области. Начертайте голям квадрат със страна (a + b). Вътре в него подредете четири копия на правоъгълен триъгълник с катети a и b.
Четирите триъгълника заемат площ 4 × (½ab) = 2ab. Оставащото място в големия квадрат трябва да бъде c² (квадратът върху хипотенузата).
Големият квадрат има площ (a + b)² = a² + 2ab + b².
Така че: a² + 2ab + b² − 2ab = c²
Следователно: a² + b² = c²
Приложения от реалния свят
Строителство и Дърводелство
„Правилото 3-4-5“ се използва всеки ден на строителните площадки, за да се провери дали ъглите са перфектно квадратни. Измерете 3 единици по една стена, 4 единици по съседната стена, след което проверете дали диагоналът е точно 5 единици. Ако е така, ъгълът е точно 90°.
Навигация
Преди GPS навигаторите са използвали теоремата постоянно. Ако пътувате 30 km на изток и след това 40 km на север, вашето разстояние по права линия от началото е √(30² + 40²) = √2500 = 50 km.
Съвременните GPS системи използват 3D разширение на теоремата за изчисляване на разстояния между координатите.
Размери на екрана
"65-инчовият телевизор" има диагонал на екрана от 65 инча. Ако знаете съотношението (16:9), можете да намерите точната ширина и височина, като използвате теоремата. За 65" екран 16:9: ширина ≈ 56,7", височина ≈ 31,9".
Инженерство и физика
Теоремата е основополагаща в структурното инженерство (изчисляване на носещи диагонали), компютърна графика (изобразяване на 3D сцени) и физика (изчисляване на резултантни вектори — комбинирания ефект на две сили под прав ъгъл).
3D разширението: Формула за разстояние
Питагоровата теорема се простира естествено до три измерения:
d = √((x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2)
Това се използва в компютърна графика, физически симулации, GPS изчисления и всяка система, работеща с 3D координати.
Изчислете Питагоровата теорема сега
Използвайте нашия безплатен калкулатор, за да намерите която и да е страна на правоъгълен триъгълник при другите две. Въведете произволни две страни и вземете третата моментално, заедно с работа стъпка по стъпка.