Кубичното уравнение е полином от 3-та степен с общата форма ax³ + bx² + cx + d = 0. За разлика от квадратните уравнения, то може да има 1, 2 или 3 реални решения.
Обща Форма
ax³ + bx² + cx + d = 0
Където a ≠ 0. Уравнението може да има:
- 3 различни реални корена
- 1 реален и 2 комплексно спрегнати корена
- Повторен корен (когато дискриминантата е нула)
Формулата на Кардано
Депресирайте кубичното уравнение (елиминирайте x²) чрез x = t - b/(3a):
t³ + pt + q = 0
Дискриминантата: Δ = -4p³ - 27q²
Δ > 0: три различни реални корена; Δ = 0: поне два равни корена; Δ < 0: един реален и два комплексни.
Пример
Решете x³ - 6x² + 11x - 6 = 0
Тестваме x = 1: 1 - 6 + 11 - 6 = 0 ✓
Разлагаме: (x-1)(x-2)(x-3) = 0 → x = 1, 2, 3.
Методи без Разлагане
- Формулата на Кардано (точна, но сложна)
- Числени методи (Нютон-Рафсон)
- Графичен метод
Приложения
- Инженерство (анализ на напрежения, флуидна динамика)
- Физика (движение в съпротивляваща среда)
- Икономика (оптимизационни задачи)
- Компютърна графика (кубични криви на Безие)
Съвети
За рационални корени използвайте теоремата за рационалния корен. Винаги проверявайте корените чрез заместване.
Използвайте нашия Решател на кубични уравнения.