Квадратното уравнение има формата ax² + bx + c = 0. Има четири метода за решаването им — знанието кой да се използва и кога прави алгебрата много по-бърза.
Стандартен формуляр
Всяко квадратно уравнение може да се запише като:
ax² + bx + c = 0
Където a ≠ 0 (ако a = 0, това е линейно уравнение).
Примери:
- x² − 5x + 6 = 0 (a=1, b=−5, c=6)
- 2x² + 3x − 2 = 0 (a=2, b=3, c=−2)
- x² − 9 = 0 (a=1, b=0, c=−9)
Метод 1: Факторинг
Работи най-добре, когато уравнението се разлага точно на цели числа. Най-бързият метод, когато е приложим.
Стъпки:
- Напишете в стандартна форма
- Намерете две числа, които се умножават по (a × c) и се събират по b
- Разделете средния член и множете чрез групиране
- Задайте всеки фактор равен на нула
Пример: x² − 5x + 6 = 0
- Имате нужда от две числа: умножете по 6, добавете към −5 → −2 и −3
- Фактор: (x − 2)(x − 3) = 0
- Решения: x = 2 или x = 3
Пример: 2x² + 5x + 3 = 0
- a × c = 6, трябват фактори, добавящи към 5 → 2 и 3
- Препишете: 2x² + 2x + 3x + 3 = 0
- Фактор: 2x(x + 1) + 3(x + 1) = 0
- Фактор: (2x + 3)(x + 1) = 0
- Решения: x = −3/2 или x = −1
Кога да използвате: Когато можете бързо да забележите факторите. Ако не намерите фактори за 30 секунди, сменете методите.
Метод 2: Квадратната формула
Работи за всяко квадратно уравнение. Използвайте това, когато факторизирането не е очевидно.
x = (−b ± √(b² − 4ac)) ÷ (2a)
Пример: 2x² + 3x − 2 = 0 (a=2, b=3, c=−2)
- Дискриминант: b² − 4ac = 9 − (4 × 2 × −2) = 9 + 16 = 25
- √25 = 5
- x = (−3 ± 5) ÷ 4
- x = (−3 + 5) ÷ 4 = 0,5 или x = (−3 − 5) ÷ 4 = −2
Дискриминантът: Колко решения?
Изразът b² − 4ac ви казва естеството на решенията, преди да решите:
| Дискриминант | Брой решения | Тип |
|---|---|---|
| b² − 4ac > 0 | Две различни реални решения | Реални числа |
| b² − 4ac = 0 | Едно повтарящо се решение | Реални, равни корени |
| b² − 4ac < 0 | Няма реални решения | Два сложни/въображаеми корена |
Пример: x² + 2x + 5 = 0
- Дискриминант = 4 − 20 = −16 → няма реални решения
- Комплексни решения: x = (−2 ± √(−16)) ÷ 2 = −1 ± 2i
Метод 3: Завършване на квадрата
Трансформира уравнението във форма (x + p)² = q. От съществено значение за разбирането на формата на върха и извличането на квадратната формула.
Стъпки:
- Движете се постоянно надясно
- Разделете на a (ако a ≠ 1)
- Добавете (b/2a)² към двете страни
- Разложете лявата страна като перфектен квадрат
- Извадете корен квадратен от двете страни
Пример: x² + 6x + 5 = 0
- x² + 6x = −5
- Добавете (6/2)² = 9 към двете страни: x² + 6x + 9 = 4
- (x + 3)² = 4
- x + 3 = ±2
- x = −1 или x = −5
Метод 4: Графика
Решенията (корените) са пресечните точки с x на параболата y = ax² + bx + c.
- Две x-отсечки → две реални решения
- Едно пресичане с x (връх на оста x) → едно повторено решение
- Без x-отсечки → няма реални решения (комплексни корени)
Кога да се използва: За визуално разбиране или при използване на графичен калкулатор. Не е практично за точни отговори.
Избор на правилния метод
| Ситуация | Най-добър метод |
|---|---|
| Целочислени коефициенти, изглежда факторизируеми | Първо факторинг |
| Всеки квадратен, изисква точен отговор | Квадратична формула |
| Разбиране на върха/минимум/максимум | Завършване на квадрата |
| Визуално разбиране или приближение | Графиране |
| b² − 4ac < 0 | Квадратична формула (дава сложни корени) |
Бърза справка: Често срещани модели
Разлика на квадратите: x² − k² = (x + k)(x − k) = 0 → x = ±k
Тричлен на идеален квадрат: x² + 2kx + k² = (x + k)² = 0 → x = −k (повтарящо се)
Без среден член: ax² + c = 0 → x = ±√(−c/a) (реално само ако c и a имат противоположни знаци)
Сума и произведение на корените
За ax² + bx + c = 0 с корени r₁ и r₂:
r₁ + r₂ = −b/a
r₁ × r₂ = c/a
Примерна проверка: x² − 5x + 6 = 0, корени 2 и 3:
- Сума: 2 + 3 = 5 = −(−5)/1 ✓
- Продукт: 2 × 3 = 6 = 6/1 ✓
Използвайте нашия инструмент за решаване на кубични уравнения за уравнения от степен 3 или приложете квадратичната формула по-горе за всяко стандартно квадратно уравнение.