Нормалното разпределение (или разпределението на Гаус) е най-важното разпределение на вероятностите в статистиката. Той описва колко природни явления са разпределени – резултати от тестове, височини, грешки при измерване, възвръщаемост на акциите – и е в основата на повечето статистически изводи и тестване на хипотези.
Формулата
Функцията на плътност на вероятността за нормално разпределение е:
f(x) = (1 / (σ√(2π))) × e^(-(x-μ)²/(2σ²))
където:
- μ (mu) = средно (център на разпределението)
- σ (сигма) = стандартно отклонение (разпространение на разпределението)
- x = стойността, която оценявате
- e ≈ 2,71828
- π ≈ 3,14159
Формата е камбановидно извита и около 68% от стойностите попадат в рамките на 1 стандартно отклонение от средната стойност, 95% в рамките на 2 стандартни отклонения и 99,7% в рамките на 3 стандартни отклонения (правилото 68-95-99,7).
Работен пример
Стандартизираният тест има средна стойност 100 и стандартно отклонение 15. Каква е вероятността случаен резултат да е по-малък от 115?
Първо преобразувайте в z-резултат:
z = (115 - 100) / 15 = 1.0
Z-резултат от 1,0 означава, че 115 е едно стандартно отклонение над средната стойност. Използвайки стандартна нормална таблица или калкулатор, P(z ≤ 1,0) ≈ 0,8413 или 84,13%.
Така че около 84% от участниците в теста имат резултат под 115.
Ключови свойства
Нормалното разпределение се определя изцяло от неговата средна стойност и стандартно отклонение. Изместването на средната стойност премества кривата наляво или надясно; увеличаването на стандартното отклонение го изравнява и разширява. Общата площ под кривата винаги е равна на 1.
Всяко нормално разпределение може да бъде преобразувано в стандартното нормално разпределение (средно 0, стандартно отклонение 1), като се използва формулата за z-резултат по-горе. Тази стандартизация ви позволява да използвате една универсална нормална таблица.
Кога да използвате
Използвайте нормалното разпределение, когато:
- Клъстери на данни около централна стойност
- Стойностите следват хистограма във формата на камбана
- Прилага се централната гранична теорема (извадката означава от всяко приблизително нормално разпределение)
- Правите тестване на хипотези или доверителни интервали
Повечето непрекъснати данни от реалния свят грубо следват нормално разпределение, което го прави работния кон на приложната статистика.
Съвети
Проверете за нормалност, като използвате хистограма или Q-Q диаграма, преди да приемете, че данните са нормални. Ако данните са силно изкривени или имат отклонения, нормалното разпределение може да не е подходящо. За необичайни данни използвайте непараметрични тестове или трансформация на данни.
Използвайте нашия Калкулатор за нормално разпределение, за да намерите незабавно вероятности, процентили и z-резултати.