Ако някога сте получили различен отговор на математически проблем от някой друг — и двамата сте били сигурни, че сте прави — виновникът почти със сигурност е редът на операциите.

Редът на операциите е набор от правила, който ви казва коя част от математическия израз да изчислите първо. Без тези правила един и същ израз може да даде различни отговори в зависимост от това кой го решава.

Какво е PEMDAS / BODMAS?

PEMDAS (използван в САЩ) и BODMAS (използван в Обединеното кралство, Индия и Австралия) са акроними за един и същ набор от правила — само с малко по-различна формулировка.

PEMDAS БОДМАС
Пскоби Бракети
Exponents Oордени (правомощия и корени)
Mумножение Ddivision
Ddivision Mумножение
**Допълнение **Допълнение
Sизваждане Sизваждане

Редът е: Скоби → Степени → Деление/Умножение → Събиране/Изваждане

Забележка: Делението и умножението имат еднакъв приоритет (отляво надясно). Събирането и изваждането имат еднакъв приоритет (отляво надясно).

Защо се нуждаем от тези правила?

Без съгласувана поръчка изразът CODE0 би бил двусмислен:

  • Ако добавите първо: (2 + 3) × 4 = 5 × 4 = 20
  • Ако първо умножите: 2 + (3 × 4) = 2 + 12 = 14

Съгласуваните правила гласят, че умножението идва преди събирането, така че правилният отговор е 14.

Правилата са обяснени

1. Първо скоби / скоби

Винаги решавайте всичко, което е в скоби, преди всичко останало.

(3 + 4) × 2 = 7 × 2 = 14

Вложени скоби: работете от най-вътрешните навън.

2 × (3 + (4 − 1)) = 2 × (3 + 3) = 2 × 6 = 12

2. Степени / степени (степени и корени)

След скобите изчислете всички степени или квадратни корени.

2 + 3² = 2 + 9 = 11

4 × √16 = 4 × 4 = 16

3. Умножение и деление (отляво надясно)

Тези две операции имат еднакъв приоритет. Когато се появят заедно, работете отляво надясно.

12 ÷ 4 × 3 = 3 × 3 = 9    ✓ (left to right)
12 ÷ 4 × 3 ≠ 12 ÷ 12 = 1  ✗ (doing × before ÷ is wrong)

4. Събиране и изваждане (отляво надясно)

Същият принцип — равен приоритет, работа отляво надясно.

10 − 3 + 2 = 7 + 2 = 9    ✓
10 − 3 + 2 ≠ 10 − 5 = 5   ✗

Работени примери

Пример 1: Основен

8 + 2 × 5 − 3
= 8 + 10 − 3        (multiplication first)
= 18 − 3            (left to right)
= 15

Пример 2: Със скоби

(8 + 2) × (5 − 3)
= 10 × 2            (brackets first)
= 20

Пример 3: С експоненти

3 + 4² ÷ 2
= 3 + 16 ÷ 2        (exponent first)
= 3 + 8             (division before addition)
= 11

Пример 4: Комплекс

5 × (2 + 3)² − 10 ÷ 2
= 5 × 5² − 10 ÷ 2   (brackets first)
= 5 × 25 − 10 ÷ 2   (exponent)
= 125 − 5           (× and ÷ left to right)
= 120

Пример 5: Класическият вирусен проблем

CODE0 — този израз става вирусен редовно, защото хората не са съгласни с отговора.

Step 1: Bracket → 1 + 2 = 3
Step 2: Expression becomes 6 ÷ 2 × 3
Step 3: Left to right → 6 ÷ 2 = 3, then 3 × 3 = 9

Отговорът е 9. Объркването възниква, защото някои хора третират CODE0 като един термин. В стандартната математическа конвенция делението и умножението имат еднакъв приоритет и се оценяват отляво надясно.

Практически задачи

Опитайте тези, преди да проверите отговорите:

  1. КОД0
  2. КОД0
  3. КОД0
  4. КОД0
  5. КОД0

Отговори:

  1. 3 + 8 = 11
  2. 7 × 2 = 14
  3. 8 + 12 − 5 = 15
  4. 20 ÷ 5 × 4 = 4 × 4 = 16
  5. 6 + 2 × 9 − 2 = 6 + 18 − 2 = 22

Често срещани грешки

Третиране на умножението преди делението като строго правило — Умножението и делението имат еднакъв приоритет. Винаги работете отляво надясно, когато и двете се появяват заедно.

Забравихте да работите с вложени скоби отвътре навън — Решете първо най-вътрешните скоби.

Прилагане на експоненти към грешната част — В CODE0 степенната степен се прилага само към 3, което ви дава -(9) = -9, а не (-3)² = 9. Използвайте скоби: CODE1, ако искате да повдигнете на квадрат отрицателното число.

Игнориране на подразбиращото се умножение — CODE0 означава CODE1. Следва същите правила като явното умножение.

Защо BODMAS и PEMDAS дават един и същи отговор

Въпреки различните имена и двата акронима описват един и същ приоритет. В BODMAS "DM" представлява деление и умножение заедно (с еднакъв приоритет). В PEMDAS "MD" по подобен начин представлява умножение и деление заедно. Редът на съкращението не означава, че умножението идва преди делението — те са равни.

Карта за бързи справки

Приоритет Операция Пример
1-ви Скоби / Скоби (3 + 4)
2-ро Експоненти / Поръчки 2³, √9
3-то= Умножение 4 × 5
3-то= дивизия 20 ÷ 4
4-то= Допълнение 7 + 3
4-то= Изваждане 10 − 4

Прочетете следващия