Z-резултатът измерва колко стандартни отклонения има дадена стойност от средната стойност. Това е основата на статистическите изводи, което ви позволява да конвертирате всяко нормално разпределение в стандартизирана скала, където можете да намерите вероятности, като използвате универсална нормална таблица или калкулатор.
Формулата
z = (x - μ) / σ
където:
- x = стойността, която оценявате
- μ (mu) = средна популация
- σ (сигма) = стандартно отклонение на популацията
Z-резултат от 0 означава, че стойността е равна на средната. Положителните z-резултати са над средната стойност; отрицателните z-резултати са по-долу. Големината ви казва разстоянието в стандартни отклонения.
Работен пример
Приемният изпит за колеж има средна стойност 500 и стандартно отклонение 100. Постигате резултат 650. Какъв е вашият z-резултат?
z = (650 - 500) / 100 = 150 / 100 = 1.5
Вашият резултат е 1,5 стандартни отклонения над средната стойност. Използвайки стандартната нормална таблица, P(z ≤ 1,5) ≈ 0,9332, което означава, че около 93,32% от участниците в теста са получили резултат под вас.
Използване на Z-Score таблици
След като изчислите z, търсите неговата вероятност в стандартна нормална таблица, която дава кумулативните вероятности P(Z ≤ z). Таблиците показват:
- Едностранни вероятности: P(Z ≤ z) или P(Z ≥ z)
- Двустранни вероятности: полезни за доверителни интервали и тестове на хипотези
Например, z = 1,96 съответства на P(Z ≤ 1,96) ≈ 0,975. Площта в двете опашки отвъд z = ±1,96 е 0,05, поради което 1,96 е критичната стойност за 95% доверителни интервали.
Често срещани Z-Score Cutoffs
| Z-резултат | Кумулативна вероятност | Процентил |
|---|---|---|
| -3 | 0.0013 | 0,13-та |
| -2 | 0.0228 | 2,28-ма |
| -1 | 0.1587 | 15.87-ма |
| 0 | 0.5000 | 50-та |
| 1 | 0.8413 | 84.13-та |
| 2 | 0.9772 | 97.72-ро |
| 3 | 0.9987 | 99,87-ма |
Кога да използвате
Z-резултатите са от съществено значение за:
- Сравняване на стойности от различни разпределения
- Намиране на вероятности с помощта на нормалното разпределение
- Идентифициране на извънредни стойности (обикновено |z| > 3)
- Проверка на хипотези и доверителни интервали
- Стандартизиране на резултатите от тестовете
Съвети
Z-резултатите работят само за нормално разпределени данни. Ако вашето разпределение е силно изкривено или има тежки опашки, z-резултатите ще бъдат подвеждащи. Освен това запомнете разликата между z (параметър на популацията) и t (статистика на извадката) — използвайте z, когато σ е известно, t, когато го оценявате от извадката.
Използвайте нашия Z-резултат калкулатор, за да конвертирате резултатите в z-резултати и незабавно да намерите вероятностите.