Die Fläche misst die Größe des zweidimensionalen Raums innerhalb einer Form. In diesem Leitfaden werden die Formeln für jede gängige Form behandelt - mit Beispielen und den Überlegungen, die hinter jeder Formel stehen.

Was ist Fläche?

Die Fläche wird in quadratischen Einheiten gemessen: cm², m², in², ft², usw. Wenn Sie einen Boden mit 1 cm × 1 cm großen Fliesen verlegen und 500 Fliesen benötigen, beträgt die Bodenfläche 500 cm².

Rechteck

A = l × w

Die grundlegendste Flächenformel. Multiplizieren Sie die Länge mit der Breite.

Beispiel: Ein Raum 5m × 4m: A = 5 × 4 = 20 m²

Quadratisch

A = s^2

Ein spezielles Rechteck, bei dem alle Seiten gleich sind.

Beispiel: Eine quadratische Fliese mit 30 cm Seitenlänge: A = 30² = 900 cm²

Dreieck

A = (1) / (2) × b × h

Die Hälfte der Grundfläche mal der Höhe. Die Höhe muss senkrecht zur Grundfläche sein - nicht zur schrägen Seite.

Beispiel: Dreieck mit Basis 8 cm, Höhe 5 cm: A = ½ × 8 × 5 = 20 cm²

Warum ½? Ein Dreieck ist genau die Hälfte eines Rechtecks mit der gleichen Basis und Höhe. Zeichnen Sie ein beliebiges Dreieck, duplizieren Sie es, drehen Sie die Kopie um - sie bilden immer ein Rechteck.

Die Heronsche Formel (wenn man alle drei Seiten kennt)

A = √(s(s-a)(s-b)(s-c))

Dabei ist s = (a + b + c)/2 der Halbkreisumfang.

Beispiel: Dreieck mit den Seiten 3, 4, 5:

  • s = (3+4+5)/2 = 6
  • A = √(6×3×2×1) = √36 = 6 cm²

Kreis

A = π r^2

Dabei ist r der Radius (halber Durchmesser).

Beispiel: Kreis mit Durchmesser 10cm (Radius 5cm): A = π × 5² = 25π ≈ 78,54 cm²

Warum πr²? Stellen Sie sich vor, Sie schneiden einen Kreis in viele dünne Pizzastücke und ordnen diese dann abwechselnd oben und unten zu einer Form an, die einem Rechteck ähnelt. Die "Breite" nähert sich πr (der Hälfte des Umfangs) und die "Höhe" nähert sich r. Fläche = πr × r = πr².

Ellipse

A = π × a × b

Dabei sind a und b die Halb-Dur- und Halb-Minor-Achsen.

Beispiel: Ellipse mit den Achsen 6cm und 4cm: A = π × 3 × 2 = 6π ≈ 18,85 cm²

Trapez (Trapezium)

A = ((a + b)) / (2) × h

Dabei sind a und b die parallelen Seiten und h ist die senkrechte Höhe.

Beispiel: Trapez mit parallelen Seiten 8cm und 5cm, Höhe 4cm: A = (8+5)/2 × 4 = 6,5 × 4 = 26 cm²

Parallelogramm

A = b × h

Basis mal senkrechte Höhe (nicht die schräge Seite).

Beispiel: Parallelogramm mit Grundfläche 7cm, Höhe 3cm: A = 7 × 3 = 21 cm²

Rhombus (aus Diagonalen)

A = (d_1 × d_2) / (2)

Dabei sind d₁ und d₂ die beiden Diagonalen.

Beispiel: Rhombus mit den Diagonalen 10cm und 6cm: A = (10 × 6)/2 = 30 cm²

Regelmäßiges Polygon (n gleiche Seiten)

A = (1) / (4) n s^2 cot((π) / (n))

Dabei ist n = Anzahl der Seiten und s = Seitenlänge.

Beispiel: Regelmäßiges Sechseck (n=6) mit einer Seite von 4 cm: A = ¼ × 6 × 16 × cot(π/6) = 24 × √3 ≈ 41,57 cm²

Sektor eines Kreises

A = (θ) / (360°) × π r^2

Ein "Pizzastück" eines Kreises, wobei θ der Winkel in Grad ist.

Beispiel: Sektor mit Radius 5cm, Winkel 90°: A = (90/360) × π × 25 = 25π/4 ≈ 19,63 cm²

Annulus (Ring)

A = π(R^2 - r^2)

Die Fläche zwischen zwei konzentrischen Kreisen, wobei R der Außenradius und r der Innenradius ist.

Beispiel: Ring mit Außenradius 8cm, Innenradius 5cm: A = π(64 - 25) = 39π ≈ 122,52 cm²

Zusammengesetzte Formen

Bei unregelmäßigen Formen können Sie diese in einfachere Teile zerlegen:

Beispiel: Ein L-förmiger Raum.

Behandeln Sie es wie ein großes Rechteck minus ein kleineres Rechteck:

  • Großes Rechteck: 8m × 6m = 48 m²
  • Fehlende Ecke: 3m × 2m = 6 m²
  • L-förmige Fläche: 48 - 6 = 42 m²

Einheitenumrechnungen für Fläche

Da die Fläche zweidimensional ist, erfolgt die Umrechnung der Einheiten zum Quadrat:

Von An Multiplizieren mit
1 m² cm² 10,000
1 ft² in² 144
1 Hektar ft² 43,560
1 Hektar m² 10,000
1 Meile² Hektar 640

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