Der Satz des Pythagoras ist eines der berühmtesten Ergebnisse der Mathematik – einfach genug, um es in einer Zeile darzustellen, tiefgründig genug, um über 370 bekannte Beweise zu haben. Hier finden Sie alles, was Sie wissen müssen, von der Formel bis zur praktischen Anwendung.
Die Formel
Für jedes rechtwinklige Dreieck (ein Dreieck mit einem 90°-Winkel):
a^2 + b^2 = c^2
Dabei sind a und b die beiden Schenkel (die Seiten, die den rechten Winkel bilden) und c die Hypotenuse (die Seite gegenüber dem rechten Winkel – immer die längste Seite).
Jede Seite finden
Finden der Hypotenuse (c):
c = √(a^2 + b^2)
Ein Bein finden (a):
a = √(c^2 - b^2)
Das andere Bein finden (b):
b = √(c^2 - a^2)
Ausgearbeitete Beispiele
Beispiel 1: Ein rechtwinkliges Dreieck hat Schenkel von 3 cm und 4 cm. Finden Sie die Hypotenuse.
- c = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5 cm
Beispiel 2: Eine 10 Meter lange Leiter lehnt an einer Wand, wobei ihre Basis 4 Meter von der Wand entfernt ist. Wie hoch reicht es?
- a = √(10² - 4²) = √(100 - 16) = √84 ≈ 9,17 Meter
Pythagoräische Tripel
Ein pythagoräisches Tripel ist eine Menge von drei ganzen Zahlen, die a² + b² = c² erfüllen. Diese kommen bei Problemen häufig vor und sollten auswendig gelernt werden:
| A | B | C |
|---|---|---|
| 3 | 4 | 5 |
| 5 | 12 | 13 |
| 8 | 15 | 17 |
| 7 | 24 | 25 |
| 20 | 21 | 29 |
Jedes Vielfache eines Tripels ist auch ein Tripel: (6, 8, 10), (9, 12, 15), (15, 20, 25) funktionieren alle.
Ein einfacher Beweis
Der eleganteste Beweis verwendet Flächen. Zeichne ein großes Quadrat mit der Seite (a + b). Ordnen Sie darin vier Kopien des rechtwinkligen Dreiecks mit den Schenkeln a und b an.
Die vier Dreiecke nehmen die Fläche 4 × (½ab) = 2ab ein. Der verbleibende Platz im großen Quadrat muss c² (das Quadrat auf der Hypotenuse) sein.
Das große Quadrat hat die Fläche (a + b)² = a² + 2ab + b².
Also: a² + 2ab + b² − 2ab = c²
Daher: a² + b² = c²
Anwendungen aus der Praxis
Bau und Zimmerei
Die „3-4-5-Regel“ wird täglich auf Baustellen angewendet, um die perfekte Rechtwinkligkeit von Ecken zu überprüfen. Messen Sie 3 Einheiten entlang einer Wand, 4 Einheiten entlang der angrenzenden Wand und prüfen Sie dann, dass die Diagonale genau 5 Einheiten misst. Wenn ja, beträgt der Winkel genau 90°.
Navigation
Vor GPS nutzten Navigatoren diesen Satz ständig. Wenn Sie 30 km nach Osten und dann 40 km nach Norden reisen, beträgt Ihre geradlinige Entfernung vom Start √(30² + 40²) = √2500 = 50 km.
Moderne GPS-Systeme verwenden eine 3D-Erweiterung des Theorems, um Entfernungen zwischen Koordinaten zu berechnen.
Bildschirmgrößen
Ein „65-Zoll-Fernseher“ hat eine Bildschirmdiagonale von 65 Zoll. Wenn Sie das Seitenverhältnis (16:9) kennen, können Sie mit dem Theorem die genaue Breite und Höhe ermitteln. Für einen 65-Zoll-16:9-Bildschirm: Breite ≈ 56,7 Zoll, Höhe ≈ 31,9 Zoll.
Ingenieurwesen und Physik
Der Satz ist grundlegend für die Bautechnik (Berechnung tragender Diagonalen), Computergrafik (Rendering von 3D-Szenen) und Physik (Berechnung resultierender Vektoren – die kombinierte Wirkung zweier Kräfte im rechten Winkel).
Die 3D-Erweiterung: Distanzformel
Der Satz des Pythagoras erstreckt sich natürlich auf drei Dimensionen:
d = √((x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2)
Dies wird in Computergrafiken, physikalischen Simulationen, GPS-Berechnungen und allen Systemen verwendet, die mit 3D-Koordinaten arbeiten.
Berechnen Sie jetzt den Satz des Pythagoras
Verwenden Sie unseren kostenlosen Rechner, um eine beliebige Seite eines rechtwinkligen Dreiecks zu ermitteln, wenn die anderen beiden vorhanden sind. Geben Sie zwei beliebige Seiten ein und erhalten Sie sofort die dritte Seite, zusammen mit der Schritt-für-Schritt-Anleitung.