Die Halbwertszeit ist die Zeit, die benötigt wird, bis die Hälfte einer Substanz zerfällt oder sich umwandelt. Es kommt in der Kernphysik, Pharmakologie, Chemie und Archäologie vor – überall dort, wo etwas exponentiell abnimmt.
Die Halbwertszeitformel
N(t) = N₀ × (½)^(t/t½)
Oder äquivalent:
N(t) = N₀ × e^(−λt)
Wo:
- N(t) = verbleibende Menge zum Zeitpunkt t
- N₀ = Anfangsmenge
- t½ = Halbwertszeit
- λ = Zerfallskonstante = ln(2) ÷ t½ ≈ 0,693 ÷ t½
- e = Eulersche Zahl (2,718...)
Grundlegende Halbwertszeitberechnung
Wie viel bleibt nach n Halbwertszeiten übrig?
Remaining fraction = (½)^n = 1 ÷ 2^n
| Verstrichene Halbwertszeiten | Verbleibender Bruchteil | Prozentsatz |
|---|---|---|
| 1 | 1/2 | 50% |
| 2 | 1/4 | 25% |
| 3 | 1/8 | 12.5% |
| 4 | 1/16 | 6.25% |
| 5 | 1/32 | 3.125% |
| 7 | 1/128 | 0.78% |
| 10 | 1/1024 | 0.098% |
Beispiel: 200 g einer Substanz mit einer Halbwertszeit von 10 Tagen, nach 30 Tagen:
- Anzahl der Halbwertszeiten = 30 ÷ 10 = 3
- Verbleibend = 200 × (½)³ = 200 × 0,125 = 25 g
Restbetrag jederzeit ermitteln
N(t) = N₀ × (½)^(t/t½)
Beispiel: 500 mg Substanz, Halbwertszeit = 8 Stunden. Wie viel bleibt nach 20 Stunden übrig?
- N(20) = 500 × (½)^(20/8)
- N(20) = 500 × (0,5)^2,5
- N(20) = 500 × 0,1768 = 88,4 mg
Ermittlung der verstrichenen Zeit anhand des verbleibenden Betrags
t = t½ × log(N(t)/N₀) ÷ log(½)
Oder: t = t½ × ln(N₀/N(t)) ÷ ln(2)
Beispiel: Beginnen Sie mit 1.000 g, Halbwertszeit = 5 Jahre. Wann bleiben 62,5 g übrig?
- 62,5/1.000 = 0,0625 = (½)^n → n = 4 Halbwertszeiten
- t = 4 × 5 = 20 Jahre
Die Zerfallskonstante
λ = ln(2) ÷ t½ ≈ 0.693 ÷ t½
Die Zerfallskonstante λ ist die Wahrscheinlichkeit pro Zeiteinheit, dass ein Kern zerfällt. Es wird in der Formel für den exponentiellen Zerfall verwendet:
N(t) = N₀ × e^(−λt)
Beispiel: Halbwertszeit = 20 Minuten:
- λ = 0,693 ÷ 20 = 0,03466 pro Minute
- Nach 60 Minuten: N = N₀ × e^(−0,03466 × 60) = N₀ × e^(−2,079) = N₀ × 0,125
Dies bestätigt: 60 Minuten = 3 Halbwertszeiten → 12,5 % verbleibend ✓
Halbwertszeiten radioaktiver Isotope
| Isotop | Halbwertszeit | Verwenden |
|---|---|---|
| Kohlenstoff-14 | 5.730 Jahre | Radiokarbondatierung |
| Uran-238 | 4,47 Milliarden Jahre | Geologische Altersdatierung |
| Jod-131 | 8,02 Tage | Behandlung von Schilddrüsenkrebs |
| Technetium-99m | 6,01 Stunden | Medizinische Bildgebung |
| Polonium-210 | 138,4 Tage | — |
| Strontium-90 | 28,8 Jahre | Besorgnis über nuklearen Niederschlag |
Kohlenstoffdatierung: Praktische Anwendung
Kohlenstoff-14 hat eine Halbwertszeit von 5.730 Jahren und kommt in allen lebenden Organismen vor. Wenn ein Organismus stirbt, hört er auf, neues C-14 aufzunehmen, sodass das Verhältnis von C-14 zu C-12 vorhersehbar abnimmt.
Age = t½ ÷ ln(2) × ln(N₀/N)
Beispiel: Eine Probe enthält noch 25 % ihres ursprünglichen C-14:
- 25 % = (½)^n → n = 2 Halbwertszeiten
- Alter = 2 × 5.730 = 11.460 Jahre alt
Die Kohlenstoffdatierung ist für Proben mit einem Alter von bis zu ~50.000 Jahren zuverlässig (ungefähr 8–9 Halbwertszeiten, danach bleibt so wenig C-14 übrig, dass die Messung unzuverlässig wird).
Halbwertszeit in der Pharmakologie
Die Halbwertszeit des Arzneimittels bestimmt die Dosierungshäufigkeit. Nach 4–5 Halbwertszeiten sind etwa 94–97 % eines Arzneimittels ausgeschieden:
| Arzneimittel | Halbwertszeit | Dosierungshäufigkeit |
|---|---|---|
| Ibuprofen | 2 Stunden | Alle 4–6 Stunden |
| Aspirin | 15–20 Minuten* | Täglich als Thrombozytenaggregationshemmer |
| Koffein | 5–6 Stunden | Wirkung ca. 8–10 Stunden |
| Diazepam (Valium) | 20–100 Stunden | Einmal täglich oder weniger |
*Die Wirkung von Aspirin auf Blutplättchen hält aufgrund der irreversiblen Bindung viel länger an als seine eigene Halbwertszeit.
Verwenden Sie unseren Exponentenrechner, um schnell (½)^n für eine beliebige Anzahl von Halbwertszeiten zu berechnen.