Eine quadratische Gleichung hat die Form ax² + bx + c = 0. Es gibt vier Methoden, sie zu lösen – zu wissen, welche und wann man sie verwenden soll, macht die Algebra viel schneller.
Standardformular
Jede quadratische Gleichung kann wie folgt geschrieben werden:
ax² + bx + c = 0
Wobei a ≠ 0 (wenn a = 0, handelt es sich um eine lineare Gleichung).
Beispiele:
- x² − 5x + 6 = 0 (a=1, b=−5, c=6)
- 2x² + 3x − 2 = 0 (a=2, b=3, c=−2)
- x² − 9 = 0 (a=1, b=0, c=−9)
Methode 1: Factoring
Funktioniert am besten, wenn die Gleichung sauber in ganze Zahlen zerlegt wird. Gegebenenfalls schnellste Methode.
Schritte:
- Schreiben Sie in Standardform
- Finden Sie zwei Zahlen, die sich zu (a × c) multiplizieren und zu b addieren lassen
- Teilen Sie den Mittelterm auf und faktorisieren Sie ihn nach Gruppierung
- Setzen Sie jeden Faktor auf Null
Beispiel: x² − 5x + 6 = 0
- Benötige zwei Zahlen: mit 6 multiplizieren, zu −5 addieren → −2 und −3
- Faktor: (x − 2)(x − 3) = 0
- Lösungen: x = 2 oder x = 3
Beispiel: 2x² + 5x + 3 = 0
- a × c = 6, Faktoren müssen zu 5 addiert werden → 2 und 3
- Umschreiben: 2x² + 2x + 3x + 3 = 0
- Faktor: 2x(x + 1) + 3(x + 1) = 0
- Faktor: (2x + 3)(x + 1) = 0
- Lösungen: x = −3/2 oder x = −1
Wann zu verwenden: Wenn Sie die Faktoren schnell erkennen können. Wenn Sie innerhalb von 30 Sekunden keine Faktoren finden, wechseln Sie die Methode.
Methode 2: Die quadratische Formel
Funktioniert für jede quadratische Gleichung. Verwenden Sie dies, wenn Factoring nicht offensichtlich ist.
x = (−b ± √(b² − 4ac)) ÷ (2a)
Beispiel: 2x² + 3x − 2 = 0 (a=2, b=3, c=−2)
- Diskriminante: b² − 4ac = 9 − (4 × 2 × −2) = 9 + 16 = 25
- √25 = 5
- x = (−3 ± 5) ÷ 4
- x = (−3 + 5) ÷ 4 = 0,5 oder x = (−3 − 5) ÷ 4 = −2
Die Diskriminante: Wie viele Lösungen?
Der Ausdruck b² − 4ac verrät Ihnen die Art der Lösungen, bevor Sie Folgendes lösen:
| Diskriminant | Anzahl der Lösungen | Typ |
|---|---|---|
| b² − 4ac > 0 | Zwei unterschiedliche reale Lösungen | Reelle Zahlen |
| b² − 4ac = 0 | Eine wiederholte Lösung | Echte, gleiche Wurzeln |
| b² − 4ac < 0 | Keine wirklichen Lösungen | Zwei komplexe/imaginäre Wurzeln |
Beispiel: x² + 2x + 5 = 0
- Diskriminante = 4 − 20 = −16 → keine reellen Lösungen
- Komplexe Lösungen: x = (−2 ± √(−16)) ÷ 2 = −1 ± 2i
Methode 3: Das Quadrat vervollständigen
Wandelt die Gleichung in die Form (x + p)² = q um. Unverzichtbar für das Verständnis der Scheitelpunktform und die Ableitung der quadratischen Formel.
Schritte:
- Konstante nach rechts verschieben
- Division durch a (wenn a ≠ 1)
- Addiere (b/2a)² auf beiden Seiten
- Faktorisieren Sie die linke Seite als perfektes Quadrat
- Ziehen Sie die Quadratwurzel aus beiden Seiten
Beispiel: x² + 6x + 5 = 0
- x² + 6x = −5
- Addiere (6/2)² = 9 auf beiden Seiten: x² + 6x + 9 = 4
- (x + 3)² = 4
- x + 3 = ±2
- x = −1 oder x = −5
Methode 4: Grafische Darstellung
Die Lösungen (Wurzeln) sind die x-Achsenabschnitte der Parabel y = ax² + bx + c.
- Zwei x-Achsenabschnitte → zwei reelle Lösungen
- Ein x-Achsenabschnitt (Scheitelpunkt auf der x-Achse) → eine wiederholte Lösung
- Keine x-Achsenabschnitte → keine reellen Lösungen (komplexe Wurzeln)
Verwendungszweck: Zum visuellen Verständnis oder bei der Verwendung eines Grafikrechners. Für genaue Antworten nicht praktikabel.
Die richtige Methode wählen
| Situation | Beste Methode |
|---|---|
| Ganzzahlige Koeffizienten, sieht faktorisierbar aus | Zuerst Factoring |
| Bei jeder quadratischen Gleichung ist eine genaue Antwort erforderlich | Quadratische Formel |
| Scheitelpunkt/Minimum/Maximum verstehen | Den Platz vervollständigen |
| Visuelles Verständnis oder Annäherung | Grafische Darstellung |
| b² − 4ac < 0 | Quadratische Formel (ergibt komplexe Wurzeln) |
Kurzreferenz: Häufige Muster
Quadratdifferenz: x² − k² = (x + k)(x − k) = 0 → x = ±k
Perfektes quadratisches Trinom: x² + 2kx + k² = (x + k)² = 0 → x = −k (wiederholt)
Kein Mittelterm: ax² + c = 0 → x = ±√(−c/a) (real nur, wenn c und a entgegengesetzte Vorzeichen haben)
Summe und Produkt der Wurzeln
Für ax² + bx + c = 0 mit Wurzeln r₁ und r₂:
r₁ + r₂ = −b/a
r₁ × r₂ = c/a
Beispielverifizierung: x² − 5x + 6 = 0, Wurzeln 2 und 3:
- Summe: 2 + 3 = 5 = −(−5)/1 ✓
- Produkt: 2 × 3 = 6 = 6/1 ✓
Verwenden Sie unseren kubischen Gleichungslöser für Gleichungen vom Grad 3 oder wenden Sie die obige quadratische Formel für jede beliebige quadratische Standardformel an.