Die Normalverteilung (oder Gauß-Verteilung) ist die wichtigste Wahrscheinlichkeitsverteilung in der Statistik. Es beschreibt, wie viele Naturphänomene verteilt sind – Testergebnisse, Höhen, Messfehler, Aktienrenditen – und ist die Grundlage der meisten statistischen Schlussfolgerungen und Hypothesentests.

Die Formel

Die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion für eine Normalverteilung ist:

f(x) = (1 / (σ√(2π))) × e^(-(x-μ)²/(2σ²))

Wo:

  • μ (mu) = Mittelwert (Zentrum der Verteilung)
  • σ (Sigma) = Standardabweichung (Spreizung der Verteilung)
  • x = der Wert, den Sie auswerten
  • e ≈ 2,71828
  • π ≈ 3,14159

Die Form ist glockenförmig und etwa 68 % der Werte liegen innerhalb einer Standardabweichung vom Mittelwert, 95 % innerhalb von 2 Standardabweichungen und 99,7 % innerhalb von 3 Standardabweichungen (die 68-95-99,7-Regel).

Ausgearbeitetes Beispiel

Ein standardisierter Test hat einen Mittelwert von 100 und eine Standardabweichung von 15. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Zufallsergebnis weniger als 115 beträgt?

Konvertieren Sie zunächst in einen Z-Score:

z = (115 - 100) / 15 = 1.0

Ein Z-Score von 1,0 bedeutet, dass 115 eine Standardabweichung über dem Mittelwert liegt. Unter Verwendung einer normalen Standardtabelle oder eines Taschenrechners ist P(z ≤ 1,0) ≈ 0,8413 oder 84,13 %.

So erreichen etwa 84 % der Testteilnehmer einen Wert unter 115.

Schlüsseleigenschaften

Die Normalverteilung wird vollständig durch ihren Mittelwert und ihre Standardabweichung definiert. Durch das Verschieben des Mittelwerts wird die Kurve nach links oder rechts verschoben. Durch Erhöhen der Standardabweichung wird diese abgeflacht und verbreitert. Die Gesamtfläche unter der Kurve beträgt immer 1.

Jede Normalverteilung kann mithilfe der obigen Z-Score-Formel in die Standardnormalverteilung (Mittelwert 0, Standardabweichung 1) umgewandelt werden. Diese Standardisierung ermöglicht die Verwendung einer universellen Normaltabelle.

Wann zu verwenden

Verwenden Sie die Normalverteilung, wenn:

  • Daten gruppieren sich um einen zentralen Wert
  • Die Werte folgen einem glockenförmigen Histogramm
  • Es gilt der Zentrale Grenzwertsatz (Stichprobenmittelwerte aus jeder Verteilung näherungsweise normal)
  • Sie führen Hypothesentests oder Konfidenzintervalle durch

Die meisten kontinuierlichen Daten aus der realen Welt folgen ungefähr einer Normalverteilung, was sie zum Arbeitspferd der angewandten Statistik macht.

Tipps

Überprüfen Sie mithilfe eines Histogramms oder eines Q-Q-Diagramms die Normalität, bevor Sie davon ausgehen, dass die Daten normal sind. Wenn die Daten stark verzerrt sind oder Ausreißer aufweisen, ist die Normalverteilung möglicherweise nicht geeignet. Verwenden Sie für nicht normale Daten nichtparametrische Tests oder Datentransformationen.

Verwenden Sie unseren Normalverteilungsrechner, um Wahrscheinlichkeiten, Perzentile und Z-Scores sofort zu finden.