Wenn Sie jemals eine andere Antwort auf eine Mathematikaufgabe gefunden haben als jemand anderes – und Sie waren sich beide sicher, dass Sie Recht hatten – liegt der Schuldige mit ziemlicher Sicherheit in der Reihenfolge der Operationen.

Die Reihenfolge der Operationen ist eine Reihe von Regeln, die Ihnen sagen, welcher Teil eines mathematischen Ausdrucks zuerst berechnet werden soll. Ohne diese Regeln könnte derselbe Ausdruck unterschiedliche Antworten liefern, je nachdem, wer ihn löst.

Was ist PEMDAS/BODMAS?

PEMDAS (in den USA verwendet) und BODMAS (in Großbritannien, Indien und Australien verwendet) sind Akronyme für dasselbe Regelwerk – nur mit leicht unterschiedlichem Wortlaut.

PEMDAS BODMAS
Parenthesen Bschläger
**Exponenten Orders (Kräfte und Wurzeln)
**Multiplikation **Division
**Division **Multiplikation
**Zusatz **Zusatz
**Subtraktion **Subtraktion

Die Reihenfolge ist: Klammern → Potenzen → Division/Multiplikation → Addition/Subtraktion

Hinweis: Division und Multiplikation haben die gleiche Priorität (von links nach rechts). Addition und Subtraktion haben die gleiche Priorität (von links nach rechts).

Warum brauchen wir diese Regeln?

Ohne eine vereinbarte Reihenfolge wäre der Ausdruck CODE0 mehrdeutig:

  • Wenn Sie zuerst addieren: (2 + 3) × 4 = 5 × 4 = 20
  • Wenn Sie zuerst multiplizieren: 2 + (3 × 4) = 2 + 12 = 14

Die vereinbarten Regeln besagen, dass die Multiplikation vor der Addition erfolgt, daher ist die richtige Antwort 14.

Die Regeln erklärt

1. Klammern/Klammern zuerst

Lösen Sie immer zuerst alles, was in Klammern steht.

(3 + 4) × 2 = 7 × 2 = 14

Verschachtelte Klammern: Arbeiten Sie von innen nach außen.

2 × (3 + (4 − 1)) = 2 × (3 + 3) = 2 × 6 = 12

2. Exponenten / Ordnungen (Potenzen und Wurzeln)

Berechnen Sie nach den Klammern alle Potenzen oder Quadratwurzeln.

2 + 3² = 2 + 9 = 11

4 × √16 = 4 × 4 = 16

3. Multiplikation und Division (von links nach rechts)

Diese beiden Vorgänge haben die gleiche Priorität. Wenn sie zusammen erscheinen, arbeiten Sie von links nach rechts.

12 ÷ 4 × 3 = 3 × 3 = 9    ✓ (left to right)
12 ÷ 4 × 3 ≠ 12 ÷ 12 = 1  ✗ (doing × before ÷ is wrong)

4. Addition und Subtraktion (von links nach rechts)

Gleiches Prinzip – gleiche Priorität, von links nach rechts arbeiten.

10 − 3 + 2 = 7 + 2 = 9    ✓
10 − 3 + 2 ≠ 10 − 5 = 5   ✗

Ausgearbeitete Beispiele

Beispiel 1: Einfach

8 + 2 × 5 − 3
= 8 + 10 − 3        (multiplication first)
= 18 − 3            (left to right)
= 15

Beispiel 2: Mit Klammern

(8 + 2) × (5 − 3)
= 10 × 2            (brackets first)
= 20

Beispiel 3: Mit Exponenten

3 + 4² ÷ 2
= 3 + 16 ÷ 2        (exponent first)
= 3 + 8             (division before addition)
= 11

Beispiel 4: Komplex

5 × (2 + 3)² − 10 ÷ 2
= 5 × 5² − 10 ÷ 2   (brackets first)
= 5 × 25 − 10 ÷ 2   (exponent)
= 125 − 5           (× and ÷ left to right)
= 120

Beispiel 5: Das klassische Virusproblem

CODE0 – dieser Ausdruck geht regelmäßig viral, weil die Leute sich über die Antwort nicht einig sind.

Step 1: Bracket → 1 + 2 = 3
Step 2: Expression becomes 6 ÷ 2 × 3
Step 3: Left to right → 6 ÷ 2 = 3, then 3 × 3 = 9

Die Antwort ist 9. Die Verwirrung entsteht, weil manche Leute CODE0 als einen einzigen Begriff behandeln. In der mathematischen Standardkonvention haben Division und Multiplikation die gleiche Priorität und werden von links nach rechts ausgewertet.

Übungsprobleme

Probieren Sie Folgendes aus, bevor Sie die Antworten überprüfen:

  1. CODE0
  2. CODE0
  3. CODE0
  4. CODE0
  5. CODE0

Antworten:

  1. 3 + 8 = 11
  2. 7 × 2 = 14
  3. 8 + 12 − 5 = 15
  4. 20 ÷ 5 × 4 = 4 × 4 = 16
  5. 6 + 2 × 9 − 2 = 6 + 18 − 2 = 22

Häufige Fehler

Multiplikation vor Division als strenge Regel behandeln – Multiplikation und Division haben die gleiche Priorität. Arbeiten Sie immer von links nach rechts, wenn beide zusammen erscheinen.

Vergessen, verschachtelte Klammern von innen nach außen durchzugehen – Lösen Sie zuerst die innersten Klammern.

Anwenden von Exponenten auf den falschen Teil – In CODE0 gilt der Exponent nur für 3, sodass Sie -(9) = -9 und nicht (-3)² = 9 erhalten. Verwenden Sie Klammern: CODE1, wenn Sie die negative Zahl quadrieren möchten.

Implizite Multiplikation ignorieren – CODE0 bedeutet CODE1 . Es folgt den gleichen Regeln wie die explizite Multiplikation.

Warum BODMAS und PEMDAS die gleiche Antwort geben

Trotz der unterschiedlichen Namen beschreiben beide Akronyme die gleiche Priorität. In BODMAS steht „DM“ für Division und Multiplikation zusammen (gleiche Priorität). In PEMDAS steht „MD“ in ähnlicher Weise für Multiplikation und Division zusammen. Das Akronym order bedeutet nicht, dass die Multiplikation vor der Division kommt – sie sind gleich.

Kurzübersichtskarte

Priorität Betrieb Beispiel
1 Klammern / Klammern (3 + 4)
2 Exponenten / Ordnungen 2³, √9
3.= Multiplikation 4 × 5
3.= Division 20 ÷ 4
4.= Zusatz 7 + 3
4.= Subtraktion 10 − 4

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