Die Standardabweichung gibt an, wie weit die Daten um den Durchschnitt verteilt sind. Eine kleine Standardabweichung bedeutet, dass die Daten dicht gebündelt sind. ein großes bedeutet, dass es weit verstreut ist.
Warum Standardabweichung wichtig ist
Zwei Klassen erreichen bei einem Test jeweils einen Durchschnitt von 75 %. In der Klasse A liegen die Werte jedoch zwischen 70 und 80 %. In der Klasse B liegen die Werte zwischen 40 und 100 %. Der Durchschnitt verbirgt wichtige Informationen – die Standardabweichung offenbart sie.
Die Formel
Für eine Bevölkerung (alle Daten):
σ = √[ Σ(x - μ)² / N ]
Für eine Stichprobe (Teilmenge der Daten):
s = √[ Σ(x - x̄)² / (n-1) ]
Wo:
- σ (Sigma) = Populationsstandardabweichung
- s = Stichprobenstandardabweichung
- x = jeder Wert
- μ oder x̄ = Mittelwert
- N = Populationsgröße, n = Stichprobengröße
Die Beispielformel dividiert durch n-1 (nicht n), um Verzerrungen bei der Schätzung aus einer Teilmenge zu korrigieren.
Schritt-für-Schritt-Beispiel
Daten: 4, 7, 13, 2, 9 (Stichprobe aus 5 Werten)
Schritt 1: Berechnen Sie den Mittelwert:
Mean = (4 + 7 + 13 + 2 + 9) / 5 = 35 / 5 = 7
Schritt 2: Subtrahieren Sie den Mittelwert von jedem Wert und Quadrat:
| X | x - Mittelwert | (x - Mittelwert)² |
|---|---|---|
| 4 | -3 | 9 |
| 7 | 0 | 0 |
| 13 | 6 | 36 |
| 2 | -5 | 25 |
| 9 | 2 | 4 |
Schritt 3: Summieren Sie die quadrierten Differenzen: 9 + 0 + 36 + 25 + 4 = 74
Schritt 4: Division durch n-1 = 4: 74 / 4 = 18,5
Schritt 5: Ziehen Sie die Quadratwurzel: √18,5 ≈ 4,30
Standardabweichung = 4,30
Die 68-95-99,7-Regel
Für normalverteilte Daten:
- 68 % der Werte liegen innerhalb einer Standardabweichung von ±1 vom Mittelwert
- 95 % liegen innerhalb von ±2 Standardabweichungen
- 99,7 % liegen innerhalb von ±3 Standardabweichungen
Beispiel: Höhen mit Mittelwert 170 cm, SD 10 cm:
- 68 % sind zwischen 160 und 180 cm groß
- 95 % liegen zwischen 150 und 190 cm
Anwendungen aus der Praxis
- Finanzen: Misst die Investitionsvolatilität (Risiko)
- Herstellung: Qualitätskontrolle – Produkte außerhalb von ±3σ sind Mängel
- Medizin: Identifizierung abnormaler Testergebnisse
- Bildung: Benotung auf einer Kurve
Verwenden Sie unseren Standardabweichungsrechner, um Mittelwert, Median, Varianz und Standardabweichung für jeden Datensatz zu berechnen.