Ein Z-Score misst, um wie viele Standardabweichungen ein Wert vom Mittelwert abweicht. Es ist die Grundlage der statistischen Inferenz und ermöglicht es Ihnen, jede Normalverteilung in eine standardisierte Skala umzuwandeln, auf der Sie mithilfe einer universellen Normalentabelle oder eines Taschenrechners Wahrscheinlichkeiten ermitteln können.
Die Formel
z = (x - μ) / σ
Wo:
- x = der Wert, den Sie auswerten
- μ (mu) = Bevölkerungsmittelwert
- σ (Sigma) = Populationsstandardabweichung
Ein Z-Score von 0 bedeutet, dass der Wert dem Mittelwert entspricht. Positive Z-Scores liegen über dem Mittelwert; Negative Z-Scores sind unten aufgeführt. Die Größe gibt Ihnen die Entfernung in Standardabweichungen an.
Ausgearbeitetes Beispiel
Eine Hochschulaufnahmeprüfung hat einen Mittelwert von 500 und eine Standardabweichung von 100. Sie erreichen einen Wert von 650. Wie hoch ist Ihr Z-Score?
z = (650 - 500) / 100 = 150 / 100 = 1.5
Ihr Wert liegt 1,5 Standardabweichungen über dem Mittelwert. Unter Verwendung der Standard-Normaltabelle ist P(z ≤ 1,5) ≈ 0,9332, was bedeutet, dass etwa 93,32 % der Testteilnehmer schlechter abschnitten als Sie.
Verwendung von Z-Score-Tabellen
Nach der Berechnung von z schlagen Sie die Wahrscheinlichkeit in einer Standardnormaltabelle nach, die kumulative Wahrscheinlichkeiten P(Z ≤ z) ergibt. Tabellen zeigen:
- Einseitige Wahrscheinlichkeiten: P(Z ≤ z) oder P(Z ≥ z)
- Zweiseitige Wahrscheinlichkeiten: nützlich für Konfidenzintervalle und Hypothesentests
Beispielsweise entspricht z = 1,96 P(Z ≤ 1,96) ≈ 0,975. Die Fläche in beiden Enden jenseits von z = ±1,96 beträgt 0,05, weshalb 1,96 der kritische Wert für 95 %-Konfidenzintervalle ist.
Gemeinsame Z-Score-Grenzwerte
| Z-Score | Kumulierte Wahrscheinlichkeit | Perzentil |
|---|---|---|
| -3 | 0.0013 | 0,13 |
| -2 | 0.0228 | 2.28 |
| -1 | 0.1587 | 15.87 |
| 0 | 0.5000 | 50 |
| 1 | 0.8413 | 84.13 |
| 2 | 0.9772 | 97,72 |
| 3 | 0.9987 | 99,87 |
Wann zu verwenden
Z-Scores sind wichtig für:
- Vergleich von Werten aus verschiedenen Verteilungen
- Finden von Wahrscheinlichkeiten mithilfe der Normalverteilung
- Identifizieren von Ausreißern (normalerweise |z| > 3)
- Hypothesentests und Konfidenzintervalle
- Standardisierung von Testergebnissen
Tipps
Z-Scores funktionieren nur für normalverteilte Daten. Wenn Ihre Verteilung stark verzerrt ist oder starke Ausläufer aufweist, sind die Z-Scores irreführend. Denken Sie auch an den Unterschied zwischen z (Populationsparameter) und t (Stichprobenstatistik) – verwenden Sie z, wenn σ bekannt ist, und t, wenn Sie es anhand der Stichprobe schätzen.
Verwenden Sie unseren Z-Score-Rechner, um Scores in Z-Scores umzuwandeln und Wahrscheinlichkeiten sofort zu ermitteln.