Η περιοχή μετρά την ποσότητα του δισδιάστατου χώρου μέσα σε ένα σχήμα. Αυτός ο οδηγός καλύπτει τον τύπο για κάθε κοινό σχήμα — με επεξεργασμένα παραδείγματα και το σκεπτικό πίσω από κάθε τύπο.

Τι είναι Περιοχή;

Το εμβαδόν μετριέται σε τετράγωνες μονάδες: cm², m², in², ft², κ.λπ. Εάν πλακώσετε ένα δάπεδο με πλακάκια 1 cm × 1 cm και χρειάζονται 500 πλακάκια, η επιφάνεια δαπέδου είναι 500 cm².

Ορθογώνιο

A = l × w

Ο πιο θεμελιώδης τύπος περιοχής. Πολλαπλασιάστε το μήκος με το πλάτος.

Παράδειγμα: Ένα δωμάτιο 5m × 4m: A = 5 × 4 = 20 m²

Τετράγωνο

A = s^2

Ένα ειδικό ορθογώνιο όπου όλες οι πλευρές είναι ίσες.

Παράδειγμα: Ένα τετράγωνο πλακίδιο με πλευρές 30 cm: A = 30² = 900 cm²

Τρίγωνο

A = (1) / (2) × b × h

Η μισή βάση επί το ύψος. Το ύψος πρέπει να είναι κάθετο στη βάση — όχι η λοξή πλευρά.

Παράδειγμα: Τρίγωνο με βάση 8 cm, ύψος 5 cm: A = ½ × 8 × 5 = 20 cm²

Γιατί ½; Ένα τρίγωνο είναι ακριβώς το μισό ενός ορθογωνίου με την ίδια βάση και ύψος. Σχεδιάστε οποιοδήποτε τρίγωνο, αντιγράψτε το, γυρίστε το αντίγραφο — σχηματίζουν πάντα ένα ορθογώνιο.

Η φόρμουλα του Heron (όταν γνωρίζετε και τις τρεις πλευρές)

A = √(s(s-a)(s-b)(s-c))

Όπου s = (a + b + c)/2 είναι η ημιπερίμετρος.

Παράδειγμα: Τρίγωνο με πλευρές 3, 4, 5:

  • s = (3+4+5)/2 = 6
  • A = √(6×3×2×1) = √36 = 6 cm²

Κύκλος

A = π r^2

Όπου r είναι η ακτίνα (η μισή διάμετρος).

Παράδειγμα: Κύκλος με διάμετρο 10 cm (ακτίνα 5 cm): A = π × 5² = 25π ≈ 78,54 cm²

Γιατί πr²; Φανταστείτε να κόβετε έναν κύκλο σε πολλές λεπτές φέτες πίτσας και μετά να τις αναδιατάξετε εναλλάξ προς τα πάνω/κάτω σε σχήμα που πλησιάζει ένα ορθογώνιο. Το «πλάτος» πλησιάζει το πr (η μισή περιφέρεια) και το «ύψος» το r. Εμβαδόν = πr × r = πr².

Έλλειψη

A = π × a × b

Όπου a και b είναι οι ημι-μείζονες και ημι-μικροί άξονες.

Παράδειγμα: Έλειψη με άξονες 6cm και 4cm: A = π × 3 × 2 = 6π ≈ 18,85 cm²

τραπεζοειδές (τραπέζιο)

A = ((a + b)) / (2) × h

Όπου a και b είναι οι παράλληλες πλευρές και h το κάθετο ύψος.

Παράδειγμα: Τραπεζοειδής με παράλληλες πλευρές 8cm και 5cm, ύψος 4cm: A = (8+5)/2 × 4 = 6,5 × 4 = 26 cm²

Παραλληλόγραμμο

A = b × h

Βάση επί κάθετου ύψους (όχι της λοξής πλευράς).

Παράδειγμα: Παραλληλόγραμμο με βάση 7cm, ύψος 3cm: A = 7 × 3 = 21 cm²

Ρόμβος (από διαγώνιες)

A = (d_1 × d_2) / (2)

Όπου d1 και d2 είναι οι δύο διαγώνιοι.

Παράδειγμα: Ρόμβος με διαγώνιες 10 cm και 6 cm: A = (10 × 6)/2 = 30 cm²

Κανονικό πολύγωνο (n ίσες πλευρές)

A = (1) / (4) n s^2 cot((π) / (n))

Όπου n = αριθμός πλευρών και s = μήκος πλευράς.

Παράδειγμα: Κανονικό εξάγωνο (n=6) με πλευρά 4cm: A = ¼ × 6 × 16 × κρεβατάκι(π/6) = 24 × √3 ≈ 41,57 cm²

Τομέας ενός Κύκλου

A = (θ) / (360°) × π r^2

Μια «φέτα πίτσας» κύκλου, όπου θ είναι η γωνία σε μοίρες.

Παράδειγμα: Τομέας με ακτίνα 5cm, γωνία 90°: A = (90/360) × π × 25 = 25π/4 ≈ 19,63 cm²

Δακτύλιος (Δαχτυλίδι)

A = π(R^2 - r^2)

Η περιοχή μεταξύ δύο ομόκεντρων κύκλων, όπου R είναι η εξωτερική ακτίνα και r η εσωτερική ακτίνα.

Παράδειγμα: Δαχτυλίδι με εξωτερική ακτίνα 8 cm, εσωτερική ακτίνα 5 cm: A = π(64 − 25) = 39π ≈ 122,52 cm²

Σύνθετα σχήματα

Για ακανόνιστα σχήματα, σπάστε τα σε πιο απλά κομμάτια:

Παράδειγμα: Ένα δωμάτιο σε σχήμα L.

Αντιμετωπίστε το ως ένα μεγάλο ορθογώνιο μείον ένα μικρότερο ορθογώνιο:

  • Μεγάλο ορθογώνιο: 8m × 6m = 48 m²
  • Γωνία που λείπει: 3m × 2m = 6 m²
  • Περιοχή σχήματος L: 48 − 6 = 42 m²

Μετατροπές μονάδων για περιοχή

Δεδομένου ότι το εμβαδόν είναι δισδιάστατο, οι μετατροπές μονάδων τετραγωνίζονται:

Από Να Πολλαπλασιάστε με
1 m² cm² 10,000
1 ft² σε ² 144
1 στρέμμα ft² 43,560
1 εκτάριο m² 10,000
1 μίλι ² στρέμματα 640

Υπολογίστε την περιοχή τώρα

Οι αριθμομηχανές σχήματός μας χειρίζονται όλα τα παραπάνω — εισαγάγετε τις μετρήσεις σας και λάβετε την περιοχή αμέσως με εργασία βήμα προς βήμα.