Το Πυθαγόρειο θεώρημα είναι ένα από τα πιο διάσημα αποτελέσματα σε όλα τα μαθηματικά — αρκετά απλό για να δηλωθεί σε μία γραμμή, αρκετά βαθύ για να έχει πάνω από 370 γνωστές αποδείξεις. Εδώ είναι όλα όσα πρέπει να γνωρίζετε, από τη φόρμουλα έως τις πρακτικές εφαρμογές.
Η Φόρμουλα
Για οποιοδήποτε ορθογώνιο τρίγωνο (τρίγωνο με μία γωνία 90°):
a^2 + b^2 = c^2
Όπου a και b είναι τα δύο σκέλη (οι πλευρές που σχηματίζουν τη σωστή γωνία) και c είναι η υποτείνουσα (η πλευρά απέναντι από τη σωστή γωνία — πάντα η μεγαλύτερη πλευρά).
Βρίσκοντας κάθε πλευρά
Εύρεση της υποτείνουσας (γ):
c = √(a^2 + b^2)
Βρίσκοντας ένα πόδι (α):
a = √(c^2 - b^2)
Βρίσκοντας το άλλο πόδι (β):
b = √(c^2 - a^2)
Επεξεργασμένα παραδείγματα
Παράδειγμα 1: Ένα ορθογώνιο τρίγωνο έχει σκέλη 3 cm και 4 cm. Βρείτε την υποτείνουσα.
- c = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5 cm
Παράδειγμα 2: Μια σκάλα μήκους 10 μέτρων ακουμπάει σε έναν τοίχο, με τη βάση της να απέχει 4 μέτρα από τον τοίχο. Πόσο ψηλά φτάνει;
- a = √(10² - 4²) = √(100 - 16) = √84 ≈ 9,17 μέτρα
Πυθαγόρειες Τριπλοί
Ένα πυθαγόρειο τριπλό είναι ένα σύνολο τριών ακέραιων αριθμών που ικανοποιούν a² + b² = c². Αυτά εμφανίζονται συχνά σε προβλήματα και αξίζει να τα απομνημονεύσετε:
| ένα | σι | ντο |
|---|---|---|
| 3 | 4 | 5 |
| 5 | 12 | 13 |
| 8 | 15 | 17 |
| 7 | 24 | 25 |
| 20 | 21 | 29 |
Οποιοδήποτε πολλαπλάσιο ενός τριπλού είναι επίσης τριπλό: (6, 8, 10), (9, 12, 15), (15, 20, 25) όλα λειτουργούν.
Μια απλή απόδειξη
Η πιο κομψή απόδειξη χρησιμοποιεί περιοχές. Σχεδιάστε ένα μεγάλο τετράγωνο με πλευρά (a + b). Μέσα σε αυτό, τακτοποιήστε τέσσερα αντίγραφα του ορθογωνίου τριγώνου με τα σκέλη α και β.
Τα τέσσερα τρίγωνα καταλαμβάνουν εμβαδόν 4 × (½ab) = 2ab. Ο χώρος που απομένει στο μεγάλο τετράγωνο πρέπει να είναι c² (το τετράγωνο στην υποτείνουσα).
Το μεγάλο τετράγωνο έχει εμβαδόν (a + b)² = a² + 2ab + b².
Άρα: a² + 2ab + b² − 2ab = c²
Επομένως: a² + b² = c²
Εφαρμογές πραγματικού κόσμου
Κατασκευές και Ξυλουργική
Ο «κανόνας 3-4-5» χρησιμοποιείται καθημερινά στα εργοτάξια για να ελεγχθεί ότι οι γωνίες είναι τέλεια τετράγωνες. Μετρήστε 3 μονάδες κατά μήκος ενός τοίχου, 4 μονάδες κατά μήκος του διπλανού τοίχου και, στη συνέχεια, ελέγξτε ότι η διαγώνιος είναι ακριβώς 5 μονάδες. Αν το κάνει, η γωνία είναι ακριβώς 90°.
Πλοήγηση
Πριν από το GPS, οι πλοηγοί χρησιμοποιούσαν το θεώρημα συνεχώς. Εάν ταξιδεύετε 30 km ανατολικά και μετά 40 km βόρεια, η ευθεία απόσταση από την αρχή είναι √(30² + 40²) = √2500 = 50 km.
Τα σύγχρονα συστήματα GPS χρησιμοποιούν μια τρισδιάστατη επέκταση του θεωρήματος για τον υπολογισμό των αποστάσεων μεταξύ των συντεταγμένων.
Μεγέθη οθόνης
Μια "τηλεόραση 65 ιντσών" έχει διαγώνιο μέτρηση οθόνης 65 ιντσών. Εάν γνωρίζετε την αναλογία διαστάσεων (16:9), μπορείτε να βρείτε το ακριβές πλάτος και ύψος χρησιμοποιώντας το θεώρημα. Για οθόνη 65" 16:9: πλάτος ≈ 56,7", ύψος ≈ 31,9".
Μηχανική και Φυσική
Το θεώρημα είναι θεμελιώδες στη δομική μηχανική (υπολογισμός διαγωνίων που φέρουν φορτίο), στα γραφικά υπολογιστών (απόδοση τρισδιάστατων σκηνών) και στη φυσική (υπολογισμός προκυπτόντων διανυσμάτων — το συνδυασμένο αποτέλεσμα δύο δυνάμεων σε ορθή γωνία).
Η 3D Extension: Distance Formula
Το Πυθαγόρειο θεώρημα εκτείνεται φυσικά σε τρεις διαστάσεις:
d = √((x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2)
Αυτό χρησιμοποιείται σε γραφικά υπολογιστή, προσομοιώσεις φυσικής, υπολογισμούς GPS και σε οποιοδήποτε σύστημα που λειτουργεί με τρισδιάστατες συντεταγμένες.
Υπολογίστε τώρα το Πυθαγόρειο Θεώρημα
Χρησιμοποιήστε τη δωρεάν αριθμομηχανή μας για να βρείτε οποιαδήποτε πλευρά ενός ορθογώνιου τριγώνου με τις άλλες δύο. Εισαγάγετε οποιεσδήποτε δύο πλευρές και αποκτήστε την τρίτη αμέσως, μαζί με τη διαδικασία βήμα προς βήμα.