Μια τετραγωνική εξίσωση έχει τη μορφή ax² + bx + c = 0. Υπάρχουν τέσσερις μέθοδοι για την επίλυσή τους — γνωρίζοντας ποια να χρησιμοποιήσετε και πότε κάνει την άλγεβρα πολύ πιο γρήγορη.
Τυπική φόρμα
Κάθε τετραγωνική εξίσωση μπορεί να γραφτεί ως:
ax² + bx + c = 0
Όπου a ≠ 0 (αν a = 0, είναι γραμμική εξίσωση).
Παραδείγματα:
- x² − 5x + 6 = 0 (a=1, b=−5, c=6)
- 2x² + 3x − 2 = 0 (a=2, b=3, c=−2)
- x² − 9 = 0 (a=1, b=0, c=−9)
Μέθοδος 1: Factoring
Λειτουργεί καλύτερα όταν η εξίσωση συνθέτει καθαρά σε ακέραιους αριθμούς. Η ταχύτερη μέθοδος όταν εφαρμόζεται.
Βήματα:
- Γράψτε σε τυπική μορφή
- Βρείτε δύο αριθμούς που πολλαπλασιάζονται σε (a × c) και προσθέστε στο b
- Διαχωρίστε τον μεσαίο όρο και τον παράγοντα ομαδοποιώντας
- Ορίστε κάθε παράγοντα ίσο με μηδέν
Παράδειγμα: x² − 5x + 6 = 0
- Χρειάζεστε δύο αριθμούς: πολλαπλασιάστε στο 6, προσθέστε στο −5 → −2 και −3
- Συντελεστής: (x − 2)(x − 3) = 0
- Λύσεις: x = 2 ή x = 3
Παράδειγμα: 2x² + 5x + 3 = 0
- a × c = 6, χρειάζονται παράγοντες που προστίθενται στο 5 → 2 και 3
- Επανεγγραφή: 2x² + 2x + 3x + 3 = 0
- Συντελεστής: 2x(x + 1) + 3(x + 1) = 0
- Συντελεστής: (2x + 3)(x + 1) = 0
- Λύσεις: x = −3/2 ή x = −1
Πότε χρησιμοποιείται: Όταν μπορείτε να εντοπίσετε τους παράγοντες γρήγορα. Εάν δεν βρείτε παράγοντες σε 30 δευτερόλεπτα, αλλάξτε μεθόδους.
Μέθοδος 2: Η Τετραγωνική Φόρμουλα
Λειτουργεί για κάθε τετραγωνική εξίσωση. Χρησιμοποιήστε το όταν η παραγοντοποίηση δεν είναι προφανής.
x = (−b ± √(b² − 4ac)) ÷ (2a)
Παράδειγμα: 2x² + 3x − 2 = 0 (a=2, b=3, c=−2)
- Διάκριση: b² − 4ac = 9 − (4 × 2 × −2) = 9 + 16 = 25
- √25 = 5
- x = (−3 ± 5) ÷ 4
- x = (−3 + 5) ÷ 4 = 0,5 ή x = (−3 − 5) ÷ 4 = −2
The Discriminant: Πόσες λύσεις;
Η έκφραση b² − 4ac σας λέει τη φύση των λύσεων πριν λύσετε:
| Διακριτικός | Αριθμός λύσεων | Τύπος |
|---|---|---|
| b² − 4ac > 0 | Δύο ξεχωριστές πραγματικές λύσεις | Πραγματικοί αριθμοί |
| b² − 4ac = 0 | Μία επαναλαμβανόμενη λύση | Πραγματικές, ίσες ρίζες |
| b² − 4ac < 0 | Δεν υπάρχουν πραγματικές λύσεις | Δύο σύνθετες/φαντασιακές ρίζες |
Παράδειγμα: x² + 2x + 5 = 0
- Διακριτικό = 4 − 20 = −16 → χωρίς πραγματικές λύσεις
- Μιγαδικές λύσεις: x = (−2 ± √(−16)) ÷ 2 = −1 ± 2i
Μέθοδος 3: Συμπλήρωση του τετραγώνου
Μετατρέπει την εξίσωση σε μορφή (x + p)² = q. Απαραίτητο για την κατανόηση της μορφής κορυφής και την εξαγωγή του τετραγωνικού τύπου.
Βήματα:
- Μετακινηθείτε σταθερά στη δεξιά πλευρά
- Διαιρέστε με ένα (αν a ≠ 1)
- Προσθέστε (b/2a)² και στις δύο πλευρές
- Συντελεστής αριστερή πλευρά ως τέλειο τετράγωνο
- Πάρτε τετραγωνική ρίζα και από τις δύο πλευρές
Παράδειγμα: x² + 6x + 5 = 0
- x² + 6x = −5
- Προσθέστε (6/2)² = 9 και στις δύο πλευρές: x² + 6x + 9 = 4
- (x + 3)² = 4
- x + 3 = ±2
- x = −1 ή x = −5
Μέθοδος 4: Γραφική παράσταση
Οι λύσεις (ρίζες) είναι οι x-τομές της παραβολής y = ax² + bx + c.
- Δύο x-τομές → δύο πραγματικές λύσεις
- Μία τομή x (κορυφή στον άξονα x) → μία επαναλαμβανόμενη λύση
- Χωρίς x-τομές → χωρίς πραγματικές λύσεις (σύνθετες ρίζες)
Πότε χρησιμοποιείται: Για οπτική κατανόηση ή όταν χρησιμοποιείτε αριθμομηχανή γραφημάτων. Δεν είναι πρακτικό για ακριβείς απαντήσεις.
Επιλογή της σωστής μεθόδου
| Κατάσταση | Καλύτερη μέθοδος |
|---|---|
| Ακέραιοι συντελεστές, φαίνεται συντελεστής | Πρώτα το Factoring |
| Οποιοδήποτε τετραγωνικό, χρειάζεται ακριβής απάντηση | Τετραγωνικός τύπος |
| Κατανόηση κορυφής/ελάχιστο/μέγιστο | Συμπλήρωση της πλατείας |
| Οπτική κατανόηση ή προσέγγιση | Γραφική παράσταση |
| b² − 4ac < 0 | Τετραγωνικός τύπος (δίνει σύνθετες ρίζες) |
Γρήγορη αναφορά: Κοινά μοτίβα
Διαφορά τετραγώνων: x² − k² = (x + k)(x − k) = 0 → x = ±k
Τέλειο τετράγωνο τριώνυμο: x² + 2kx + k² = (x + k)² = 0 → x = −k (επαναλαμβανόμενο)
Χωρίς μέσο όρο: ax² + c = 0 → x = ±√(−c/a) (πραγματικό μόνο αν το c και το a έχουν αντίθετα πρόσημα)
Άθροισμα και Προϊόν των ριζών
Για ax² + bx + c = 0 με ρίζες r1 και r2:
r₁ + r₂ = −b/a
r₁ × r₂ = c/a
Παράδειγμα επαλήθευσης: x² − 5x + 6 = 0, ρίζες 2 και 3:
- Άθροισμα: 2 + 3 = 5 = −(−5)/1 ✓
- Προϊόν: 2 × 3 = 6 = 6/1 ✓
Χρησιμοποιήστε τον επιλύτη κυβικών εξισώσεων για εξισώσεις βαθμού 3 ή εφαρμόστε τον παραπάνω τετραγωνικό τύπο για οποιοδήποτε τυπικό τετραγωνικό.