Η τυπική απόκλιση σάς λέει πόσο κατανεμημένα δεδομένα είναι γύρω από το μέσο όρο. Μια μικρή τυπική απόκλιση σημαίνει στενά συμπλέγματα δεδομένων. ένα μεγάλο σημαίνει ότι είναι ευρέως διασκορπισμένο.
Γιατί έχει σημασία η τυπική απόκλιση
Δύο τάξεις και οι δύο κατά μέσο όρο 75% σε μια δοκιμή. Αλλά στην Κατηγορία Α, οι βαθμολογίες κυμαίνονται από 70–80%. Στην Τάξη Β, οι βαθμολογίες κυμαίνονται από 40–100%. Ο μέσος όρος κρύβει σημαντικές πληροφορίες - η τυπική απόκλιση το αποκαλύπτει.
Η Φόρμουλα
Για πληθυσμό (όλα τα δεδομένα):
σ = √[ Σ(x - μ)² / N ]
Για ένα δείγμα (υποσύνολο δεδομένων):
s = √[ Σ(x - x̄)² / (n-1) ]
Οπου:
- σ (σίγμα) = τυπική απόκλιση πληθυσμού
- s = τυπική απόκλιση δείγματος
- x = κάθε τιμή
- μ ή x̄ = μέσος όρος
- N = μέγεθος πληθυσμού, n = μέγεθος δείγματος
Ο τύπος του δείγματος διαιρείται με n-1 (όχι n) για να διορθωθεί η μεροληψία κατά την εκτίμηση από ένα υποσύνολο.
Παράδειγμα βήμα προς βήμα
Δεδομένα: 4, 7, 13, 2, 9 (δείγμα 5 τιμών)
Βήμα 1: Υπολογίστε τη μέση τιμή:
Mean = (4 + 7 + 13 + 2 + 9) / 5 = 35 / 5 = 7
Βήμα 2: Αφαιρέστε το μέσο όρο από κάθε τιμή και τετράγωνο:
| x | x - μέσος όρος | (x - μέσος όρος)² |
|---|---|---|
| 4 | -3 | 9 |
| 7 | 0 | 0 |
| 13 | 6 | 36 |
| 2 | -5 | 25 |
| 9 | 2 | 4 |
Βήμα 3: Άθροισμα των τετράγωνων διαφορών: 9 + 0 + 36 + 25 + 4 = 74
Βήμα 4: Διαιρέστε με n-1 = 4: 74 / 4 = 18,5
Βήμα 5: Πάρτε την τετραγωνική ρίζα: √18,5 ≈ 4,30
Τυπική απόκλιση = 4,30
Ο κανόνας 68-95-99,7
Για κανονικά κατανεμημένα δεδομένα:
- 68% των τιμών εμπίπτουν εντός ±1 τυπικής απόκλισης του μέσου όρου
- Το 95% εμπίπτει σε ±2 τυπικές αποκλίσεις
- Το 99,7% εμπίπτει σε ±3 τυπικές αποκλίσεις
Παράδειγμα: Ύψα με μέσο όρο 170 cm, SD 10 cm:
- Το 68% είναι μεταξύ 160–180 cm
- Το 95% είναι μεταξύ 150–190 cm
Εφαρμογές πραγματικού κόσμου
- Οικονομικά: Μετρά την αστάθεια των επενδύσεων (κίνδυνος)
- Κατασκευή: Ποιοτικός έλεγχος — προϊόντα εκτός ±3σ είναι ελαττώματα
- Φάρμακο: Προσδιορισμός μη φυσιολογικών αποτελεσμάτων δοκιμών
- Εκπαίδευση: Βαθμολογία σε καμπύλη
Χρησιμοποιήστε τον Τυπικός Υπολογιστής απόκλισης για να υπολογίσετε τη μέση, τη διάμεσο, τη διακύμανση και την τυπική απόκλιση για οποιοδήποτε σύνολο δεδομένων.