Η βαθμολογία z μετρά πόσες τυπικές αποκλίσεις είναι μια τιμή από τη μέση τιμή. Είναι το θεμέλιο των στατιστικών συμπερασμάτων, που σας επιτρέπει να μετατρέψετε οποιαδήποτε κανονική κατανομή σε μια τυποποιημένη κλίμακα όπου μπορείτε να βρείτε πιθανότητες χρησιμοποιώντας έναν καθολικό κανονικό πίνακα ή αριθμομηχανή.
Η Φόρμουλα
z = (x - μ) / σ
Οπου:
- x = η τιμή που αξιολογείτε
- μ (mu) = μέσος όρος πληθυσμού
- σ (σίγμα) = τυπική απόκλιση πληθυσμού
Ένα z-score 0 σημαίνει ότι η τιμή ισούται με τον μέσο όρο. Οι θετικές βαθμολογίες z είναι πάνω από το μέσο όρο. Οι αρνητικές βαθμολογίες z είναι παρακάτω. Το μέγεθος σας λέει την απόσταση σε τυπικές αποκλίσεις.
Παράδειγμα εργασίας
Μια εισαγωγική εξέταση κολεγίου έχει μέση τιμή 500 και τυπική απόκλιση 100. Βαθμολογείτε 650. Ποιο είναι το z-score σας;
z = (650 - 500) / 100 = 150 / 100 = 1.5
Η βαθμολογία σας είναι 1,5 τυπικές αποκλίσεις πάνω από το μέσο όρο. Χρησιμοποιώντας τον τυπικό κανονικό πίνακα, P(z ≤ 1,5) ≈ 0,9332, που σημαίνει περίπου το 93,32% των εξεταζομένων σημείωσαν χαμηλότερη βαθμολογία από εσάς.
Χρήση πινάκων βαθμολογίας Z
Αφού υπολογίσετε το z, αναζητάτε την πιθανότητα του σε έναν τυπικό κανονικό πίνακα, ο οποίος δίνει αθροιστικές πιθανότητες P(Z ≤ z). Οι πίνακες δείχνουν:
- Πιθανότητες μιας ουράς: P(Z ≤ z) ή P(Z ≥ z)
- Πιθανότητες δύο ουρών: χρήσιμες για διαστήματα εμπιστοσύνης και δοκιμές υποθέσεων
Για παράδειγμα, z = 1,96 αντιστοιχεί σε P(Z ≤ 1,96) ≈ 0,975. Η περιοχή και στις δύο ουρές πέρα από το z = ±1,96 είναι 0,05, γι' αυτό το 1,96 είναι η κρίσιμη τιμή για διαστήματα εμπιστοσύνης 95%.
Κοινές αποκοπές βαθμολογίας Z
| Z-Score | Αθροιστική πιθανότητα | Εκατοστη |
|---|---|---|
| -3 | 0.0013 | 0,13η |
| -2 | 0.0228 | 2.28η |
| -1 | 0.1587 | 15.87η |
| 0 | 0.5000 | 50η |
| 1 | 0.8413 | 84,13η |
| 2 | 0.9772 | 97,72η |
| 3 | 0.9987 | 99,87ο |
Πότε να χρησιμοποιείται
Οι βαθμολογίες Z είναι απαραίτητες για:
- Σύγκριση τιμών από διαφορετικές κατανομές
- Εύρεση πιθανοτήτων χρησιμοποιώντας την κανονική κατανομή
- Προσδιορισμός ακραίων τιμών (συνήθως |z| > 3)
- Έλεγχος υποθέσεων και διαστήματα εμπιστοσύνης
- Τυποποίηση βαθμολογιών τεστ
Συμβουλές
Οι βαθμολογίες Z λειτουργούν μόνο για κανονικά κατανεμημένα δεδομένα. Εάν η διανομή σας είναι πολύ λοξή ή έχει βαριές ουρές, οι βαθμολογίες z θα είναι παραπλανητικές. Επίσης, θυμηθείτε τη διαφορά μεταξύ z (παράμετρος πληθυσμού) και t (στατιστικό δείγματος) — χρησιμοποιήστε το z όταν το σ είναι γνωστό, το t όταν το υπολογίζετε από το δείγμα.
Χρησιμοποιήστε τον Z-Score Calculator για να μετατρέψετε τις βαθμολογίες σε βαθμολογίες z και να βρείτε τις πιθανότητες αμέσως.