Un score z (ou score standard) mesure le nombre d'écarts types entre un point de données et la moyenne. Il convertit les scores bruts en une échelle standardisée qui permet la comparaison entre différents ensembles de données.
La formule Z-Score
z = (x − μ) ÷ σ
Où:
- x = point de données individuel
- μ (mu) = moyenne de la population
- σ (sigma) = écart type de la population
Pour un échantillon, remplacez μ par x̄ (moyenne de l’échantillon) et σ par s (échantillon SD).
Exemple travaillé
Un étudiant obtient 72 à un examen. La moyenne de classe est de 65 et l’écart type est de 8.
z = (72 − 65) ÷ 8 = 7 ÷ 8 = 0.875
Cet élève a obtenu 0,875 écart-type au-dessus de la moyenne.
Interprétation des scores Z
| Score Z | Interprétation | Centile (environ) |
|---|---|---|
| −3 | Extrêmement en dessous de la moyenne | 0.1% |
| −2 | Bien en dessous de la moyenne | 2.3% |
| −1 | En dessous de la moyenne | 15.9% |
| 0 | Au milieu | 50.0% |
| +1 | Au-dessus de la moyenne | 84.1% |
| +2 | Bien au dessus de la moyenne | 97.7% |
| +3 | Extrêmement au-dessus de la moyenne | 99.9% |
La règle 68-95-99.7
Dans une distribution normale : - 68 % des données se situent dans un écart type de ± 1
- 95 % à ±2 écarts types
- 99,7 % à ±3 écarts types
Conversion du score Z en centile
Une fois que vous avez un score z, recherchez le tableau normal standard (table Z) ou utilisez :
Percentile = Φ(z) × 100
Où Φ est la fonction de distribution normale cumulative.
Exemple : z = 1,5 → Φ(1,5) = 0,9332 → 93,3e centile
Applications des scores Z
Finance:
- Altman Z-Score prédit le risque de faillite
- Utilisé dans la gestion des risques pour identifier les valeurs aberrantes
Soins de santé :
- IMC pour les scores z d'âge pour les enfants
- Les scores T de densité osseuse (DXA) sont une forme de score z
Contrôle de qualité:
- Six Sigma utilise les scores Z pour mesurer la capacité du processus
- Un processus « 6-sigma » a un z-score de 6 (3,4 défauts par million)
Résultats des tests de normalisation :
- Scores de QI : moyenne 100, SD 15 (un score z de +2 → QI 130)
- Scores SAT : moyenne 1000, SD 200 (échelle à partir des scores z)
Comparaison des scores de différents tests
Exemple : Alice a obtenu un score de 80 au test A (moyenne 70, SD 10). Bob a obtenu un score de 55 au test B (moyenne 40, SD 8).
Alice's z = (80 − 70) ÷ 10 = 1.0
Bob's z = (55 − 40) ÷ 8 = 1.875
Malgré le score brut inférieur, Bob a obtenu de meilleurs résultats que ses pairs.