Un nombre premier est un nombre entier supérieur à 1 qui a exactement deux facteurs : 1 et lui-même. Les nombres premiers sont les éléments constitutifs de tous les nombres entiers : chaque nombre entier peut être exprimé comme un produit de nombres premiers.
Les 25 premiers nombres premiers
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97
Notez que 2 est le seul nombre premier pair. Tous les autres nombres pairs sont divisibles par 2.
Méthode 1 : Division de première instance
Le moyen le plus simple de tester si un nombre est premier : vérifier si un nombre jusqu'à sa racine carrée le divise de manière égale.
Aperçu clé : Si n a un facteur supérieur à √n, il a également un facteur correspondant inférieur à √n. Il vous suffit donc de vérifier jusqu'à √n.
Algorithme:
- Si n < 2, pas premier
- Si n = 2, prime
- Si n est pair (sauf 2), pas premier
- Vérifiez tous les nombres impairs de 3 à √n
- Le cas échéant, divisez n de manière égale, sans amorcer
- Sinon, amorcez
Exemple : 97 est-il premier ?
√97 ≈ 9,85, donc vérifiez les nombres premiers jusqu'à 9 : 2, 3, 5, 7
- 97 ÷ 2 = 48,5 (pas entier)
- 97 ÷ 3 = 32,33... (pas entier)
- 97 ÷ 5 = 19,4 (pas entier)
- 97 ÷ 7 = 13,86 (pas entier)
Aucun diviseur trouvé — 97 est premier.
Exemple : 91 est-il premier ?
√91 ≈ 9,54, vérifiez jusqu'à 9 : 2, 3, 5, 7
- 91 ÷ 7 = 13 (nombre entier !)
91 n'est pas premier — 91 = 7 × 13.
Méthode 2 : Tamis d'Ératosthène
Le Tamis d'Ératosthène trouve tous les nombres premiers jusqu'à une limite donnée. C'est rapide et élégant, inventé par le mathématicien grec Eratosthène vers 240 avant JC.
Pour trouver tous les nombres premiers jusqu'à 50 :
- Écrivez les nombres de 2 à 50
- Commencez par 2 (premier premier). Rayez tous les multiples de 2 (4, 6, 8...)
- Passer au nombre non barré suivant : 3. Rayer les multiples de 3 (9, 15, 21...)
- Décroisé suivant : 5. Rayez les multiples de 5 (25, 35...)
- Suivant décroisé : 7. Rayer les multiples de 7 (49...)
- Arrêtez-vous lorsque vous atteignez √50 ≈ 7,07
- Tous les nombres non croisés restants sont premiers
Amorce jusqu'à 50 : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47
Primes jusqu'à 100 : liste complète
| Gamme | Primes |
|---|---|
| 1 à 10 | 2, 3, 5, 7 |
| 11-20 | 11, 13, 17, 19 |
| 21-30 | 23, 29 |
| 31-40 | 31, 37 |
| 41-50 | 41, 43, 47 |
| 51-60 | 53, 59 |
| 61-70 | 61, 67 |
| 71-80 | 71, 73, 79 |
| 81-90 | 83, 89 |
| 91-100 | 97 |
Il y a 25 nombres premiers inférieurs à 100.
Tests de divisibilité rapides
Avant de procéder à une division complète, vérifiez ces règles :
| Divisible par | Si... |
|---|---|
| 2 | Le dernier chiffre est pair (0,2,4,6,8) |
| 3 | Somme de chiffres divisible par 3 |
| 5 | Le dernier chiffre est 0 ou 5 |
| 7 | Pas de règle simple : il suffit de diviser |
| 11 | Somme à chiffres alternés divisible par 11 |
Exemple : 143 est-il premier ?
- Même pas ✓
- 1+4+3 = 8, non divisible par 3 ✓
- Ne se termine pas par 0 ou 5 ✓
- √143 ≈ 11,96, vérifiez jusqu'à 11
- 143 ÷ 7 = 20,43 ✓
- 143 ÷ 11 = 13 — divisible !
143 = 11 × 13. Pas premier.
Pourquoi les primes sont importantes
Cryptographie : Le cryptage RSA (utilisé pour sécuriser les opérations bancaires sur Internet, HTTPS et la messagerie électronique) repose sur le fait qu'il est facile de multiplier deux grands nombres premiers, mais il est extrêmement difficile de reconstituer le résultat en nombres premiers.
Informatique : Les tables de hachage, les générateurs de nombres aléatoires et les sommes de contrôle utilisent les propriétés des nombres premiers.
Mathématiques pures : La distribution des nombres premiers reste l'un des problèmes mathématiques non résolus les plus profonds : l'hypothèse de Riemann.
Faits intéressants
- Le plus grand nombre premier connu (en 2024) compte plus de 41 millions de chiffres
- Les nombres premiers jumeaux sont des nombres premiers qui diffèrent de 2 (11 et 13, 17 et 19, 41 et 43)
- Il existe une infinité de nombres premiers — prouvé par Euclide vers 300 avant JC
- Conjecture de Goldbach (non prouvée depuis 1742) : tout nombre pair > 2 est la somme de deux nombres premiers