z-સ્કોર (અથવા પ્રમાણભૂત સ્કોર) એ માપે છે કે ડેટા બિંદુ સરેરાશમાંથી કેટલા પ્રમાણભૂત વિચલનો છે. તે કાચા સ્કોરને પ્રમાણિત સ્કેલમાં રૂપાંતરિત કરે છે જે વિવિધ ડેટાસેટ્સમાં સરખામણીને સક્ષમ કરે છે.
ઝેડ-સ્કોર ફોર્મ્યુલા
z = (x − μ) ÷ σ
ક્યાં:
- x = વ્યક્તિગત ડેટા પોઇન્ટ
- μ (mu) = વસ્તી સરેરાશ
- σ (સિગ્મા) = વસ્તી પ્રમાણભૂત વિચલન
નમૂના માટે, μ ને x̄ (નમૂનો સરેરાશ) અને σ ને s (નમૂનો SD) વડે બદલો.
કાર્ય કરેલ ઉદાહરણ
એક વિદ્યાર્થી પરીક્ષામાં 72 અંક મેળવે છે. વર્ગ સરેરાશ 65 છે, અને પ્રમાણભૂત વિચલન 8 છે.
z = (72 − 65) ÷ 8 = 7 ÷ 8 = 0.875
આ વિદ્યાર્થીએ સરેરાશ કરતાં *0.875 પ્રમાણભૂત વિચલનો સ્કોર કર્યા.
Z-સ્કોર્સનું અર્થઘટન
| Z-સ્કોર | અર્થઘટન | ટકાવારી (અંદાજે) |
|---|---|---|
| −3 | સરેરાશથી અત્યંત નીચે | 0.1% |
| −2 | વેલ સરેરાશ નીચે | 2.3% |
| −1 | સરેરાશથી નીચે | 15.9% |
| 0 | સરેરાશ પર | 50.0% |
| +1 | સરેરાશથી ઉપર | 84.1% |
| +2 | વેલ સરેરાશ ઉપર | 97.7% |
| +3 | સરેરાશથી ખૂબ જ વધારે | 99.9% |
68-95-99.7 નિયમ
સામાન્ય વિતરણમાં:
- 68% ડેટા ±1 માનક વિચલનની અંદર આવે છે
- 95% ±2 પ્રમાણભૂત વિચલનોની અંદર
- 99.7% ±3 માનક વિચલનોની અંદર
Z-સ્કોરને પર્સેન્ટાઈલમાં રૂપાંતરિત કરવું
એકવાર તમારી પાસે z-સ્કોર થઈ જાય, પછી સ્ટાન્ડર્ડ નોર્મલ ટેબલ (Z-ટેબલ) જુઓ અથવા આનો ઉપયોગ કરો:
Percentile = Φ(z) × 100
જ્યાં Φ એ સંચિત સામાન્ય વિતરણ કાર્ય છે.
ઉદાહરણ: z = 1.5 → Φ(1.5) = 0.9332 → 93.3જી પર્સેન્ટાઇલ
ઝેડ-સ્કોરની અરજીઓ
ફાઇનાન્સ:
- ઓલ્ટમેન ઝેડ-સ્કોર નાદારીના જોખમની આગાહી કરે છે
- બહારના લોકોને ઓળખવા માટે જોખમ વ્યવસ્થાપનમાં વપરાય છે
આરોગ્ય સંભાળ:
- બાળકો માટે વય z-સ્કોર માટે BMI
- બોન ડેન્સિટી (DXA) ટી-સ્કોર એ z-સ્કોરનું એક સ્વરૂપ છે
ગુણવત્તા નિયંત્રણ:
- સિક્સ સિગ્મા પ્રક્રિયા ક્ષમતાને માપવા માટે z-સ્કોર્સનો ઉપયોગ કરે છે
- "6-સિગ્મા" પ્રક્રિયામાં 6નો z-સ્કોર હોય છે (3.4 ખામી પ્રતિ મિલિયન)
સ્ટાન્ડર્ડાઇઝિંગ ટેસ્ટ સ્કોર્સ:
- IQ સ્કોર: સરેરાશ 100, SD 15 (+2 → IQ 130 નો z-સ્કોર)
- SAT સ્કોર્સ: સરેરાશ 1000, SD 200 (z-સ્કોરથી માપવામાં આવેલ)
વિવિધ ટેસ્ટમાં સ્કોર્સની સરખામણી
ઉદાહરણ: એલિસે ટેસ્ટ Aમાં 80 સ્કોર કર્યો (મીન 70, SD 10). બોબે ટેસ્ટ Bમાં 55 રન બનાવ્યા (મીન 40, SD 8).
Alice's z = (80 − 70) ÷ 10 = 1.0
Bob's z = (55 − 40) ÷ 8 = 1.875
નીચા કાચા સ્કોર હોવા છતાં, બોબે તેના સાથીદારોની તુલનામાં વધુ સારું પ્રદર્શન કર્યું.