התפלגות ההסתברות הבינומית עונה על שאלה בסיסית: אם לאירוע יש הסתברות הצלחה ידועה, מה הסתברות לקבל בדיוק מספר מסוים של הצלחות במספר קבוע של ניסויים עצמאיים? זה חל על בקרת איכות, בדיקות רפואיות, הטלת מטבעות ובכל מקום שבו מתבצע מספר קבוע של ניסויי כן/לא.
הנוסחה
נוסחת ההסתברות הבינומית מחשבת את ההסתברות לקבלת בדיוק k הצלחות ב-n ניסויים עצמאיים:
P(X = k) = C(n,k) × p^k × (1-p)^(n-k)
כאשר:
- n = מספר הניסויים
- k = מספר ההצלחות הרצוי
- p = הסתברות הצלחה בכל ניסוי
- C(n,k) = n! / (k! × (n-k)!) — מספר הצירופים
C(n,k) אומר לך כמה דרכים ניתן לסדר k הצלחות בין n ניסויים.
דוגמה מחושבת
בודק איכות בוחר באקראי 10 נורות ממשלוח שידועה בו שיעור פגמים של 5%. מה הסתברות שבדיוק 2 נורות פגומות?
- n = 10 ניסויים
- k = 2 הצלחות (פגמים)
- p = 0.05 (שיעור פגמים)
- 1 - p = 0.95
C(10,2) = 10! / (2! × 8!) = 45
P(X = 2) = 45 × (0.05)^2 × (0.95)^8
P(X = 2) = 45 × 0.0025 × 0.6634 = 0.0746 או 7.46%
אז יש סיכוי של 7.46% למצוא בדיוק 2 נורות פגומות באותה דגימה.
הסתברויות קשורות
לעיתים קרובות תרצה את ההסתברות המצטברת — "לכל היותר 2 פגמים" או "לפחות 2 פגמים":
- P(X ≤ k): סכם את כל ההסתברויות מ-0 עד k
- P(X ≥ k): סכם את כל ההסתברויות מ-k עד n
עבור n גדול, ההתפלגות הבינומית מתקרבת להתפלגות הנורמלית, ולכן ציוני z וטבלאות נורמליות משמשים לעיתים קרובות במקום.
מתי להשתמש בהסתברות בינומית
השתמש בהתפלגות זו כאשר:
- יש לך מספר קבוע של ניסויים
- לכל ניסוי שני תוצאות (הצלחה/כישלון, פגום/טוב, כן/לא)
- הסתברות ההצלחה קבועה
- הניסויים עצמאיים
יישומים נפוצים כוללים יעילות ניסויים קליניים, סקרי בחירות, שיעורי פגמים בייצור ותחזיות תוצאות משחקים.
טיפים
נוסחת הבינום הופכת לכבדה חישובית עבור n גדול — מחשבונים ותוכנות סטטיסטיות הכרחיות. זכור גם שזה מניח אירועים עצמאיים עם הסתברות קבועה; אם הנחות אלו מתמוטטות, התוצאה תהיה לא מדויקת.
השתמש במחשבון ההסתברות הבינומית שלנו לחישוב הסתברויות באופן מיידי ללא חישוב ידני.