היקף ושטח של מעגל - נוסחאות ודוגמאות מעובדות

עיגולים מופיעים בכל מקום — גלגלים, צינורות, חדרים עגולים, פיצה, כוכבי לכת. שתי מדידות מגדירות כל עיגול באופן מלא: ההיקף (המרחק סביב הקצה) והשטח (החלל הפנימי). שניהם נגזרים ישירות מערך אחד: הרדיוס.

מונחי מפתח

רדיוס (r): המרחק ממרכז העיגול לכל נקודה על קצהו. זוהי המדידה הבסיסית — כל נוסחאות העיגול משתמשות בה.

קוטר (d): המרחק לרוחב העיגול דרך המרכז. תמיד בדיוק פי שניים מהרדיוס: d = 2r.

היקף (C): הפרימטר של העיגול — המרחק הכולל סביב הקצה החיצוני.

שטח (A): כמות המרחב הדו-ממדי המוקף על ידי העיגול.

π (פאי): היחס בין היקפו של כל עיגול לקוטרו. מספר אי-רציונלי (אינסופי, לא מחזורי) ובערך שווה ל-3.14159265...

נוסחת ההיקף

C = 2πr    או בשווילות    C = πd

דוגמה: עיגול עם רדיוס 5 ס"מ

C = 2 × π × 5 = 10π ≈ 31.42 ס"מ

לפי הקוטר: אם הקוטר נתון ישירות:

C = π × d = π × 10 = 10π ≈ 31.42 ס"מ

שתי הדרכים נותנות את אותה התשובה — בחרו את המדידה שיש לכם.

נוסחת השטח

A = πr²

דוגמה: אותו עיגול עם רדיוס 5 ס"מ

A = π × 5² = 25π ≈ 78.54 ס"מ²

הערה: השטח תמיד ביחידות ריבועיות (ס"מ², מ"ר, אינץ'²). ההיקף ביחידות אורך (ס"מ, מ', אינץ').

חישוב הפוך מהיקף או שטח

לפעמים יודעים את ההיקף או השטח וצריך למצוא את הרדיוס.

רדיוס מהיקף:

r = C / (2π)

רדיוס משטח:

r = √(A / π)

קוטר מהיקף:

d = C / π

דוגמה: שדה עגול עם היקף 150 מ'. מה שטחו?

שלב 1: מצאו את הרדיוס

r = 150 / (2π) = 150 / 6.2832 = 23.87 מ'

שלב 2: מצאו את השטח

A = π × 23.87² = π × 569.8 ≈ 1,790 מ"ר

דוגמאות שכיחות

חתך צינור עגול

לצינור יש קוטר פנימי של 40 מ"מ. מה שטח החתך הרוחבי?

r = 40 / 2 = 20 מ"מ
A = π × 20² = 400π ≈ 1,257 מ"מ²

מסלול ריצה

למסלול ריצה עגול יש רדיוס 40 מ'. מה המרחק בסיבוב אחד?

C = 2π × 40 = 80π ≈ 251.3 מ'

השוואת גדלי פיצה

האם פיצה בקוטר 14 אינץ' שווה יותר משתי פיצות בקוטר 10 אינץ'?

פיצה 14 אינץ':

A = π × 7² = 49π ≈ 153.9 אינץ'²

שתי פיצות 10 אינץ':

A = 2 × π × 5² = 2 × 25π = 50π ≈ 157.1 אינץ'²

שתי פיצות 10 אינץ' נותנות פיצה מעט יותר — אבל רק אם המחיר דומה.

מגזרים וקשתות

מגזר הוא "פרוסה" של עיגול (כמו פרוסת עוגה), המוגדרת על ידי זווית מרכזית θ.

אורך קשת (הקצה המעוקל של המגזר):

קשת = (θ / 360) × 2πr    [מעלות]
קשת = θr                   [רדיאנים]

שטח מגזר:

שטח מגזר = (θ / 360) × πr²    [מעלות]
שטח מגזר = ½r²θ               [רדיאנים]

דוגמה: מגזר עם רדיוס 8 ס"מ וזווית מרכזית 45°

אורך קשת = (45 / 360) × 2π × 8 = (1/8) × 16π = 2π ≈ 6.28 ס"מ
שטח מגזר = (45 / 360) × π × 64 = (1/8) × 64π = 8π ≈ 25.13 ס"מ²

טבעת (צורת טבעת)

טבעת היא האזור שבין שני עיגולים קונצנטריים עם רדיוסים R (חיצוני) ו-r (פנימי).

שטח טבעת = π(R² − r²) = π(R + r)(R − r)

דוגמה: גבול עגול עם רדיוס חיצוני 10 מ' ורדיוס פנימי 7 מ':

שטח = π(10² − 7²) = π(100 − 49) = 51π ≈ 160.2 מ"ר

סיכום נוסחאות

מדידה	נוסחה
היקף	C = 2πr = πd
שטח	A = πr²
רדיוס מ-C	r = C / (2π)
רדיוס מ-A	r = √(A/π)
אורך קשת (מעלות)	קשת = (θ/360) × 2πr
שטח מגזר (מעלות)	A = (θ/360) × πr²
שטח טבעת	A = π(R² − r²)

השתמשו במחשבון העיגול שלנו לחישוב כל מדידה — הזינו ערך אחד וקבלו את כל השאר מיידית.