משוואת מעוקב היא פולינום של מדרגה 3, עם הצורה הכללית ax³ + bx² + cx + d = 0. בניגוד למשוואות ריבועיות, למשוואות מעוקבות יכולות להיות 1, 2 או 3 פתרונות אמיתיים ואין לה נוסחה פשוטה בצורה סגורה שרוב האנשים לומדים בבית הספר. עם זאת, הם ניתנים לפתרון באמצעות הנוסחה של קרדנו או שיטות מספריות.
הטופס הכללי
ax³ + bx² + cx + d = 0
כאשר a ≠ 0 (אחרת זה לא מעוקב). המשוואה יכולה להיות:
- 3 שורשים אמיתיים מובהקים
- שורש אחד אמיתי ו-2 שורשים מצומדים מורכבים
- שורש חוזר (כאשר המבחין שווה לאפס)
הנוסחה של קרדנו
כדי להשתמש בנוסחה של קרדנו, תחילה לחץ על הקוביות (בטל את האיבר x²) על ידי החלפת x = t - b/(3a):
t³ + pt + q = 0
אז השורשים נמצאים באמצעות נוסחה מורכבת המערבת את המבחין:
Δ = -4p³ - 27q²
אם Δ > 0: שלושה שורשים אמיתיים מובהקים אם Δ = 0: לפחות שני שורשים ממשיים שווים אם Δ < 0: שורש אמיתי אחד ושני שורשים מצומדים מורכבים
דוגמה עבדה
פתור את x³ - 6x² + 11x - 6 = 0
על ידי בדיקה או ניסוי, אנו יכולים לבדוק מספרים שלמים קטנים. בדיקת x = 1:
1 - 6 + 11 - 6 = 0 ✓
אז x = 1 הוא שורש. פקטורון (x - 1):
(x - 1)(x² - 5x + 6) = 0
(x - 1)(x - 2)(x - 3) = 0
שלושת השורשים הם x = 1, 2, 3.
מציאת שורשים ללא פקטורינג
עבור משוואות מעוקב שאינן משתלבות יפה, השתמש ב:
- הנוסחה של קרדנו (מדויק מבחינה אלגברית אך מסובך)
- שיטות מספריות כמו ניוטון-ראפסון (איטרטיבי, מוצא שורש אחד בכל פעם)
- גרף להערכת שורשים ולעידון עם ניוטון-ראפסון
יישומים
משוואות מעוקב מופיעות ב:
- הנדסה (ניתוח מתח-מתח, דינמיקת נוזלים)
- פיזיקה (תנועת קליע במדיום התנגדות, חומרים מעוקבים)
- כלכלה (בעיות אופטימיזציה, עקומות עלויות ייצור)
- גרפיקה ממוחשבת (עקומות Bézier מעוקבות)
טיפים
אם אתה חושד בשורשים רציונליים, השתמש במשפט השורש הרציונלי: לכל שורש רציונלי p/q יש p המחלק את d ו-q המחלק את a. זה מצמצם משמעותית את המועמדים לבדיקות שלך. אמת תמיד שורשים על ידי החלפה.
השתמש בפותר המשוואות הקוביות כדי למצוא את כל השורשים באופן מיידי, בין אם הם אמיתיים או מורכבים.