הגדרת הערך המוחלט
הערך המוחלט של מספר הוא המרחק שלו מאפס על ציר המספרים, ללא קשר לכיוון. הערך המוחלט של x נכתב כ-|x|.
הגדרה מתמטית:
|x| = x אם x ≥ 0 |x| = -x אם x < 0
דוגמאות בסיסיות
נחשב את הערך המוחלט של מספרים שונים:
- |5| = 5 (המספר החיובי נשאר כמו שהוא)
- |-5| = 5 (המספר השלילי הופך לחיובי)
- |0| = 0 (אפס נשאר אפס)
- |-3.7| = 3.7 (עובד גם עם עשרוניות)
- |8 - 12| = |-4| = 4 (חשב את הפנים קודם)
פתרון משוואות עם ערך מוחלט
משוואה: |x| = 7
כאשר הערך המוחלט שווה למספר חיובי, יש שני מקרים:
x = 7 או x = -7
בדיקה:
- |7| = 7 ✓
- |-7| = 7 ✓
משוואה: |2x - 3| = 11
שלב 1: הצב את שני המקרים 2x - 3 = 11 או 2x - 3 = -11
שלב 2: פתור כל מקרה
- מקרה 1: 2x = 14, אז x = 7
- מקרה 2: 2x = -8, אז x = -4
שלב 3: בדוק
- |2(7) - 3| = |11| = 11 ✓
- |2(-4) - 3| = |-11| = 11 ✓
אי-שוויונות עם ערך מוחלט
אי-שוויון: |x| < 5 משמעות: המספר נמצא בין -5 ל-5 פתרון: -5 < x < 5
אי-שוויון: |x| > 3 משמעות: המספר מרוחק יותר מ-3 מאפס פתרון: x < -3 או x > 3
יישומים מעשיים
- פיזיקה: מדידת תזוזה ללא התחשבות בכיוון
- סטטיסטיקה: חישוב הסטייה המוחלטת מהממוצע
- תכנות: מציאת ההפרש המוחלט בין שני ערכים
- גיאומטריה: מדידת מרחקים במישור הקואורדינטות