מחלק משותף גדול ביותר (GCD) ומכפיל משותף קטן ביותר (LCM) הם מושגים יסודיים בתורת המספרים המשמשים לצמצום שברים ופתרון בעיות.

הגדרות

GCD (מחלק משותף גדול ביותר) — המספר השלם החיובי הגדול ביותר המחלק את שני המספרים ללא שארית.

LCM (מכפיל משותף קטן ביותר) — המספר השלם החיובי הקטן ביותר שמתחלק בשני המספרים.

GCD(a, b) × LCM(a, b) = a × b
LCM(a, b) = (a × b) ÷ GCD(a, b)

שיטה 1: פירוק לגורמים ראשוניים

דוגמה: GCD ו-LCM של 36 ו-48

  • 36 = 2² × 3²
  • 48 = 2⁴ × 3

GCD = 2² × 3¹ = 12 LCM = 2⁴ × 3² = 144

שיטה 2: אלגוריתם אוקלידס

GCD(48, 18):

  • 48 = 2 × 18 + 12
  • 18 = 1 × 12 + 6
  • 12 = 2 × 6 + 0

GCD = 6

יישומים מעשיים

  • צמצום שברים: 36/48 = 3/4 (חלוקה ב-GCD 12)
  • מציאת מכנים משותפים בעזרת LCM