क्या है Black-Scholes Option Pricing?
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ब्लैक-स्कोल्स मॉडल एक यूरोपीय शैली के विकल्प के उचित मूल्य की गणना करता है - एक अनुबंध जो आपको किसी विशिष्ट भविष्य की तारीख पर एक निश्चित मूल्य पर स्टॉक खरीदने (कॉल करने) या बेचने (डालने) का अधिकार देता है, लेकिन दायित्व नहीं। 1973 से पहले, विकल्पों की कीमत अंतर्ज्ञान और बातचीत के आधार पर तय की जाती थी। फिशर ब्लैक और मायरोन स्कोल्स ने एक ही समीकरण के साथ सब कुछ बदल दिया, जिसने विकल्प मूल्य निर्धारण को पांच अवलोकन योग्य इनपुट दिए गए गणितीय निश्चितता के रूप में माना। रॉबर्ट मर्टन के शोधन के साथ, इस काम ने स्कोल्स और मर्टन को 1997 में अर्थशास्त्र में नोबेल पुरस्कार दिलाया और सैकड़ों ट्रिलियन डॉलर के आधुनिक डेरिवेटिव बाजार को जन्म दिया। मॉडल मानता है कि स्टॉक की कीमत निरंतर अस्थिरता के साथ एक यादृच्छिक चाल का अनुसरण करती है, कि कोई लाभांश नहीं है, और आप लेनदेन लागत के बिना लगातार व्यापार कर सकते हैं। व्यवहार में, व्यापारी इसे एक बेंचमार्क के रूप में उपयोग करते हैं - वे 'अंतर्निहित अस्थिरता' के बैक-सॉल्यूशन के लिए मौजूदा बाजार कीमतों को इनपुट करते हैं, बाजार का सर्वसम्मति पूर्वानुमान कि स्टॉक कितना आगे बढ़ेगा। प्रत्येक विकल्प व्यापारी निहित अस्थिरता को देखता है क्योंकि यह आपको बताता है कि इतिहास के सापेक्ष विकल्प सस्ते हैं या महंगे हैं। यदि निहित अस्थिरता अधिक है, तो विकल्पों की लागत अधिक होती है; यदि कम है, तो उनकी लागत कम है। मॉडल की ज्ञात सीमाएँ हैं - यह चरम बाजार चाल (वसा पूंछ) की संभावना को कम करता है और अमेरिकी-शैली के विकल्पों के लिए टूट जाता है जिन्हें जल्दी प्रयोग किया जा सकता है - लेकिन यह सभी विकल्पों के मूल्य निर्धारण और जोखिम प्रबंधन के लिए सार्वभौमिक शुरुआती बिंदु बना हुआ है।
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सूत्र
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कॉल मूल्य = S·N(d₁) − K·e^(−rT)·N(d₂)
कीमत रखें = K·e^(−rT)·N(−d₂) − S·N(−d₁)
d₁ = [ln(S/K) + (r + σ²/2)·T] / (σ·√T)
d₂ = d₁ − σ·√T
एन(एक्स) = मानक सामान्य संचयी वितरण फ़ंक्शनचर विवरण
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| प्रतीक | नाम | इकाई | विवरण |
|---|---|---|---|
| S | वर्तमान स्टॉक मूल्य | currency | वर्तमान स्टॉक मूल्य मूल्य, जो ब्लैक स्कोल्स गणना में एक महत्वपूर्ण इनपुट पैरामीटर के रूप में कार्य करता है और सीधे गणना किए गए आउटपुट परिणाम की परिमाण और सटीकता को प्रभावित करता है। |
| K | हड़ताल की कीमत | currency | स्ट्राइक प्राइस वैल्यू, जो ब्लैक स्कोल्स गणना में एक महत्वपूर्ण इनपुट पैरामीटर के रूप में कार्य करता है और गणना किए गए आउटपुट परिणाम की परिमाण और सटीकता को सीधे प्रभावित करता है |
| r | जोखिम-मुक्त दर | % per year | जोखिम-मुक्त दर मूल्य, जो ब्लैक स्कोल्स गणना में एक महत्वपूर्ण इनपुट पैरामीटर के रूप में कार्य करता है और गणना किए गए आउटपुट परिणाम की परिमाण और सटीकता को सीधे प्रभावित करता है। |
| T | समाप्ति का समय | years | विकल्प समाप्त होने तक शेष समय, वर्षों में व्यक्त किया गया (उदाहरण के लिए, 90 दिन = 0.247 वर्ष) |
| σ | अस्थिरता | % per year | स्टॉक के लॉग-रिटर्न का वार्षिक मानक विचलन; मॉडल का महत्वपूर्ण और केवल अप्राप्य इनपुट |
कैसे Black-Scholes Option Pricing
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- 1पांच इनपुट इकट्ठा करें: मौजूदा स्टॉक मूल्य (एस), स्ट्राइक प्राइस (के), जोखिम-मुक्त दर (आर), वर्षों में समाप्ति का समय (टी), और अपेक्षित अस्थिरता (σ)।
- 2d₁ की गणना करें: यह दर्शाता है कि विकल्प पैसे में कितनी दूर है, समय और अस्थिरता के लिए समायोजित किया गया है।
- 3d₂ = d₁ − σ√T की गणना करें: यह स्टॉक के पथ की अनिश्चितता के लिए d₁ को नीचे की ओर समायोजित किया गया है।
- 4मानक सामान्य वितरण से N(d₁) और N(d₂) को देखें - ये इन-द-मनी समाप्त होने वाले विकल्प की संभावनाओं को दर्शाते हैं।
- 5कॉल के लिए: स्टॉक मूल्य को N(d₁) से गुणा करें, फिर रियायती स्ट्राइक मूल्य को N(d₂) से गुणा करके घटाएं।
- 6पुट के लिए: पुट-कॉल समता या डायरेक्ट पुट फॉर्मूला का उपयोग करें। पुट = कॉल − S + K·e^(−rT).
- 7मॉडल कीमत की बाजार कीमत से तुलना करें; यदि वे भिन्न हैं, तो अंतर को एक अलग अस्थिरता धारणा द्वारा समझाया गया है - अंतर्निहित अस्थिरता बाजार का वास्तविक संकेत है।
हल किए गए उदाहरण
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एट-द-मनी विकल्प (एस=के) का कारोबार सबसे अधिक होता है; उनकी कीमत अस्थिरता परिवर्तनों के प्रति सबसे अधिक संवेदनशील है।
स्ट्राइक मूल्य पर स्टॉक के साथ, विकल्प का कोई आंतरिक मूल्य नहीं है - सभी $10.45 समय मूल्य है। लगभग आधा प्रीमियम स्टॉक के 100 डॉलर से ऊपर बढ़ने की क्षमता से आता है, और ब्याज दर घटक (पैसे का समय मूल्य) स्ट्राइक पर एक छोटी छूट के लिए जिम्मेदार होता है।
उच्च अस्थिरता आउट-ऑफ-द-मनी विकल्प की कीमतों को नाटकीय रूप से बढ़ा देती है - स्टॉक में 25% की तेजी के लिए 6 महीने का समय होता है।
20% आउट-ऑफ-द-मनी होने के बावजूद, उच्च निहित अस्थिरता (40%) और 6 महीने शेष होने के कारण विकल्प का सार्थक मूल्य है। 40% वार्षिक अस्थिरता का मतलब है कि 6 महीनों में लगभग ±25% चालें एक मानक विचलन के भीतर हैं, जिससे $100 की रैली संभव हो जाती है।
डीप-इन-द-मनी पुट की कीमत थोड़े समय के प्रीमियम के साथ आंतरिक मूल्य (K−S=$30) के करीब होती है।
पुट लगभग $30 के अपने पूर्ण आंतरिक मूल्य के लायक है क्योंकि यह अब तक पैसे में है। $30 से छोटी छूट प्रतीक्षा द्वारा अर्जित जोखिम-मुक्त ब्याज को दर्शाती है (आप वैकल्पिक रूप से स्टॉक को छोटा कर सकते हैं और $100 को 3% पर निवेश कर सकते हैं)। समय प्रीमियम छोटा है क्योंकि इस बारे में थोड़ी अनिश्चितता है कि यह पुट पैसे में समाप्त हो जाएगा या नहीं।
विकल्प कीमतों से बाजार की अस्थिरता का पूर्वानुमान निकालने के लिए व्यापारी ब्लैक-स्कोल्स का उल्टा उपयोग करते हैं।
जब 20% अस्थिरता पर मॉडल कीमत केवल $5.50 है लेकिन बाजार $8.00 पर कारोबार करता है, तो बाजार उच्च अस्थिरता का संकेत दे रहा है - लगभग 28.5%। यह अंतर्निहित अस्थिरता वास्तविक संकेत है: यह आपको बताता है कि बाजार औसत से अधिक बड़े उतार-चढ़ाव की उम्मीद करता है। विकल्प सस्ते हैं या महंगे, यह तय करने के लिए व्यापारी अंतर्निहित अस्थिरता की तुलना ऐतिहासिक अस्थिरता से करते हैं।
वास्तविक अनुप्रयोग
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दुनिया भर के एक्सचेंजों पर इक्विटी, इंडेक्स और ईटीएफ विकल्पों का मूल्य निर्धारण, चिकित्सकों को मान्य कम्प्यूटेशनल तरीकों और उद्योग-मानक दृष्टिकोणों के आधार पर अच्छी तरह से सूचित मात्रात्मक निर्णय लेने में सक्षम बनाता है, जिसके लिए साक्ष्य-आधारित निर्णयों, रणनीतिक संसाधन आवंटन और विविध संगठनात्मक संदर्भों और पेशेवर विषयों में प्रदर्शन अनुकूलन का समर्थन करने के लिए सटीक मात्रात्मक विश्लेषण की आवश्यकता होती है।
वित्तीय रिपोर्टिंग (एएससी 718 / आईएफआरएस 2) के लिए कर्मचारी स्टॉक विकल्पों का मूल्यांकन करना, विश्लेषकों को सटीक परिणाम उत्पन्न करने में मदद करना जो संगठनों में रणनीतिक योजना, संसाधन आवंटन और प्रदर्शन बेंचमार्किंग का समर्थन करते हैं, जहां विश्वसनीय आउटपुट उत्पन्न करने के लिए सटीक संख्यात्मक गणना आवश्यक है जो कॉर्पोरेट और व्यक्तिगत दोनों सेटिंग्स में योजना, मूल्यांकन और निरंतर सुधार प्रक्रियाओं को सूचित करती है।
VIX सूचकांक और अन्य वॉल्यूम बेंचमार्क बनाने के लिए निहित अस्थिरता को निकालना, पेशेवरों को परिणामों को व्यवस्थित रूप से मापने और विश्वसनीय गणितीय ढांचे और स्थापित सूत्रों का उपयोग करके परिदृश्यों की तुलना करने की अनुमति देना, व्यवस्थित गणना दृष्टिकोण की मांग करना जो कच्चे इनपुट डेटा को उन हितधारकों के लिए कार्रवाई योग्य अंतर्दृष्टि में अनुवादित करता है जो अपनी दैनिक व्यावसायिक गतिविधियों में मात्रात्मक कठोरता पर निर्भर हैं।
मॉडल से गणना की गई डेल्टा, गामा और वेगा का उपयोग करके हेजिंग विकल्प पुस्तकें, डेटा-संचालित मूल्यांकन प्रक्रियाओं का समर्थन करती हैं जहां अनुपालन, रिपोर्टिंग और अनुकूलन उद्देश्यों के लिए संख्यात्मक सटीकता आवश्यक है, मजबूत कम्प्यूटेशनल तरीकों की आवश्यकता होती है जो पेशेवर वातावरण में रिपोर्टिंग, ऑडिटिंग और दीर्घकालिक प्रवृत्ति विश्लेषण के लिए उपयुक्त लगातार और सत्यापन योग्य परिणाम प्रदान करते हैं।
विशेष मामले
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लाभांश देने वाले स्टॉक
मानक मॉडल लाभांश की उपेक्षा करता है। ज्ञात लाभांश देने वाले शेयरों के लिए, फॉर्मूला लागू करने से पहले अपेक्षित लाभांश के वर्तमान मूल्य को मौजूदा स्टॉक मूल्य से घटा दें। निरंतर लाभांश उपज (सूचकांक विकल्पों के लिए सामान्य) के लिए, S को S·e^(−qT) से बदलें, जहां q निरंतर लाभांश उपज है - यह मेर्टन (1973) एक्सटेंशन है।
बहुत छोटी या बहुत लंबी समाप्ति
समाप्ति (दिनों) के करीब, यदि स्टॉक स्ट्राइक के करीब है तो मॉडल गलत परिणाम दे सकता है - संभावना फ़ंक्शन छोटे इनपुट परिवर्तनों के प्रति बहुत संवेदनशील हो जाता है। बहुत लंबे समय तक चलने वाले विकल्पों (LEAPS, 2+ वर्ष) के लिए, ब्याज दर अनिश्चितता और माध्य-प्रत्यावर्तन प्रवृत्तियाँ निरंतर अस्थिरता धारणाओं को तेजी से अवास्तविक बनाती हैं।
बाइनरी और बैरियर विकल्प
ब्लैक-स्कोल्स अपने मानक रूप में बैरियर (मूल्य सीमा पर सक्रिय या निष्क्रिय करने वाले विकल्प) या बायनेरिज़ (शर्त पूरी होने पर निश्चित भुगतान) जैसे विदेशी विकल्पों की कीमत नहीं लगाता है। इनके लिए संशोधित सूत्रों या संख्यात्मक तरीकों की आवश्यकता होती है, हालांकि ब्लैक-स्कोल्स बिल्डिंग ब्लॉक उनकी व्युत्पत्ति में दिखाई देते हैं।
अनुमानित कॉल विकल्प मूल्य - S=$100, r=4%, T=0.5 वर्ष
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| हड़ताल (के) | σ=15% | σ=25% | σ=35% | σ=50% |
|---|---|---|---|---|
| $80 (डीप आईटीएम) | $21.50 | $22.60 | $24.10 | $26.80 |
| $95 (मामूली आईटीएम) | $7.80 | $9.90 | $12.10 | $15.30 |
| $100 (एटीएम) | $4.30 | $7.10 | $9.80 | $13.50 |
| $105 (मामूली ओटीएम) | $2.00 | $4.90 | $7.60 | $11.40 |
| $120 (डीप ओटीएम) | $0.10 | $1.20 | $3.20 | $7.00 |
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
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निहित अस्थिरता क्या है और यह क्यों मायने रखती है?
निहित अस्थिरता (IV) वह अस्थिरता मूल्य है, जिसे जब ब्लैक-स्कोल्स फॉर्मूला में प्लग किया जाता है, तो विकल्प का मौजूदा बाजार मूल्य उत्पन्न होता है। यह भविष्य के मूल्य आंदोलन के बारे में बाजार के सर्वसम्मत पूर्वानुमान का प्रतिनिधित्व करता है। जब IV उच्च होता है, तो विकल्प महंगे होते हैं - बाजार को बड़े उतार-चढ़ाव का डर होता है। जब IV कम होता है, तो विकल्प सस्ते होते हैं। व्यापारी अधिक कीमत वाले या कम कीमत वाले विकल्प खोजने के लिए वर्तमान IV की तुलना ऐतिहासिक अस्थिरता से करते हैं। VIX इंडेक्स, जिसे अक्सर 'डर गेज' कहा जाता है, S&P 500 विकल्पों की निहित अस्थिरता है।
ब्लैक-स्कोल्स अमेरिकी विकल्पों का सटीक मूल्य निर्धारण क्यों नहीं कर सकते?
अमेरिकी विकल्पों का प्रयोग समाप्ति से पहले किसी भी समय किया जा सकता है, जो एक प्रारंभिक व्यायाम प्रीमियम बनाता है जिसे ब्लैक-स्कोल्स अपने बंद-फॉर्म फॉर्मूले के साथ हासिल नहीं कर सकता है। गैर-लाभांश-भुगतान वाले शेयरों पर अमेरिकी कॉल के लिए, प्रारंभिक अभ्यास कभी भी इष्टतम नहीं होता है (आप विकल्प को बेहतर ढंग से बेचेंगे), इसलिए ब्लैक-स्कोल्स कॉल मूल्य सटीक है। लाभांश-भुगतान वाले शेयरों पर अमेरिकी पुट और कॉल के लिए, व्यवसायी द्विपद वृक्षों (कॉक्स-रॉस-रुबिनस्टीन मॉडल) या परिमित अंतर योजनाओं जैसे संख्यात्मक तरीकों का उपयोग करते हैं।
अस्थिरता मुस्कान क्या है और यह क्यों होती है?
यदि ब्लैक-स्कोल्स पूरी तरह से सही थे, तो निहित अस्थिरता सभी स्ट्राइक कीमतों पर स्थिर रहेगी। व्यवहार में, आउट-ऑफ-द-मनी पुट (क्रैश इंश्योरेंस) ट्रेड एट-द-मनी विकल्पों की तुलना में उच्च निहित अस्थिरता पर होता है, और आउट-ऑफ-द-मनी कॉल कभी-कभी ऊंचा IV भी दिखाते हैं। यह पैटर्न - जिसे अस्थिरता मुस्कान या तिरछा कहा जाता है - बाजार सहभागियों के पूंछ की घटनाओं के डर को दर्शाता है जिसे ब्लैक-स्कोल्स कम आंकते हैं। 1987 के स्टॉक मार्केट क्रैश के बाद यह प्रमुखता से उभरा।
डेल्टा मुझे किसी विकल्प के बारे में क्या बताता है?
डेल्टा (∂V/∂S) आपको बताता है कि स्टॉक में $1 की चाल के लिए विकल्प मूल्य में कितना परिवर्तन होता है। 0.60 के डेल्टा का मतलब है कि जब स्टॉक 1 डॉलर बढ़ता है तो विकल्प मूल्य $0.60 बढ़ जाता है। डेल्टा इस संभावना का भी अनुमान लगाता है कि विकल्प इन-द-मनी समाप्त हो जाता है: 0.60 डेल्टा कॉल में इन-द-मनी समाप्त होने की लगभग 60% संभावना होती है। व्यापारी हेजिंग के लिए डेल्टा का उपयोग करते हैं: 'डेल्टा-तटस्थ' होने के लिए, आप दिशात्मक जोखिम को ऑफसेट करने के लिए विकल्प के डेल्टा के अनुपात में शेयर रखते हैं।
समय क्षय (थीटा) विकल्प मूल्य को कैसे प्रभावित करता है?
जैसे-जैसे समाप्ति नजदीक आती है विकल्प का मूल्य कम हो जाता है - इस क्षरण को समय क्षय या थीटा कहा जाता है। बाकी सब समान, एक विकल्प समय बीतने के कारण हर दिन अपना मूल्य खो देता है। एट-द-मनी विकल्पों में निरपेक्ष रूप से सबसे अधिक समय क्षय होता है; डीप-इन-द-मनी या फार-आउट-द-मनी विकल्पों में थीटा कम होता है। यही कारण है कि विकल्प खरीदने के लिए स्टॉक में चल रहे समय मूल्य क्षरण की भरपाई के लिए स्टॉक को पर्याप्त रूप से स्थानांतरित करने की आवश्यकता होती है - विकल्प खरीदार हर दिन एक स्थिति पर कब्जा करते हुए समय क्षय से लड़ते हैं।
क्या ब्लैक-स्कोल्स का उपयोग क्रिप्टोकरेंसी विकल्पों के लिए किया जा सकता है?
हाँ, महत्वपूर्ण चेतावनियों के साथ। यदि आप उचित निहित अस्थिरता इनपुट करते हैं तो ब्लैक-स्कोल्स क्रिप्टो विकल्पों की कीमत लगा सकते हैं। IV के साथ डेरीबिट और सीएमई पर बिटकॉइन विकल्प व्यापार अक्सर 50-150% तक होता है - जो कि इक्विटी बाजारों की तुलना में कहीं अधिक है। क्रिप्टो के लिए मॉडल की निरंतर अस्थिरता धारणा का और भी अधिक उल्लंघन किया गया है, जहां अस्थिरता स्वयं अत्यधिक अस्थिर है (जिसे अक्सर 'वॉल्यूम का वॉल्यूम' कहा जाता है)। SABR या हेस्टन जैसे अधिक परिष्कृत मॉडल, जो स्टोकेस्टिक अस्थिरता की अनुमति देते हैं, सटीक क्रिप्टो विकल्प मूल्य निर्धारण के लिए अधिक उपयुक्त हैं।
फिशर ब्लैक कौन थे और वह नोबेल पुरस्कार विजेता क्यों नहीं हैं?
फिशर ब्लैक एक व्यावहारिक गणितज्ञ और वित्तीय अर्थशास्त्री थे जिन्होंने मायरोन स्कोल्स के साथ मॉडल का सह-विकास किया। उन्होंने मॉडल को व्यवहार में लागू करते हुए गोल्डमैन सैक्स में काम किया। विकल्प मूल्य निर्धारण पद्धति पर उनके काम के लिए 1997 में अर्थशास्त्र में नोबेल पुरस्कार स्कोल्स और रॉबर्ट मेर्टन को प्रदान किया गया था। पुरस्कार से दो साल पहले अगस्त 1995 में फिशर ब्लैक की गले के कैंसर से मृत्यु हो गई थी। नोबेल पुरस्कार मरणोपरांत प्रदान नहीं किया जाता है, इसलिए ब्लैक को स्पष्ट रूप से मान्यता दी गई थी लेकिन उन्हें पुरस्कार नहीं मिल सका।
सामान्य गलतियां जिनसे बचना है
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- !सीधे ऐतिहासिक अस्थिरता का उपयोग करना - मॉडल को अंतर्निहित अस्थिरता या भविष्योन्मुखी अनुमान का उपयोग करना चाहिए, अतीत का नहीं। हालिया ऐतिहासिक खंड का उपयोग कमाई जैसी अस्थिर घटनाओं से पहले विकल्पों को कम कर सकता है।
- !समय को वर्षों में परिवर्तित किए बिना दिनों में प्लग करना - टी वर्षों में होना चाहिए (ट्रेडिंग दिनों के लिए दिन/365 या दिन/252)।
- !लाभांश-भुगतान करने वाले शेयरों के लिए लाभांश को अनदेखा करना - लाभांश समायोजन को छोड़ने से कॉलों का अत्यधिक मूल्य और कम मूल्य निर्धारण पूर्व-तिथि के निकट लाभांश भुगतानकर्ताओं पर पड़ता है।
- !मॉडल आउटपुट को 'सही' बाज़ार मूल्य मानना - मॉडल एक बेंचमार्क है; वास्तविक विकल्प आपूर्ति और मांग और तरलता द्वारा निर्धारित कीमतों पर व्यापार करते हैं।
विशेष टिप
स्ट्राइक या परिपक्वता अवधि के दौरान विकल्पों की तुलना करते समय, विकल्प की कीमतों के बजाय निहित अस्थिरता की तुलना करें। एक विकल्प डॉलर के संदर्भ में सस्ता लग सकता है लेकिन अस्थिरता के संदर्भ में महंगा। सापेक्ष मूल्य अवसरों की पहचान करने के लिए हमेशा IV सतह - स्ट्राइक और परिपक्वताओं में निहित अस्थिरता का 3डी मानचित्र - को देखकर सामान्यीकरण करें।
क्या आप जानते हैं?
ब्लैक-स्कोल्स मॉडल ने शिकागो बोर्ड ऑप्शंस एक्सचेंज (सीबीओई) को अप्रैल 1973 में खोलने में सक्षम बनाया - वस्तुतः उसी महीने जब पेपर प्रकाशित हुआ था। दस वर्षों के भीतर, विकल्प ट्रेडिंग की मात्रा प्रति दिन हजारों से लाखों अनुबंधों तक पहुंच गई। सूत्र इतना प्रभावशाली था कि टेक्सास इंस्ट्रूमेंट्स ने प्रकाशन के तुरंत बाद ब्लैक-स्कोल्स के साथ पूर्व-प्रोग्राम किया हुआ एक विशेष पॉकेट कैलकुलेटर तैयार किया।
संदर्भ
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