एक घन समीकरण घात 3 का एक बहुपद है, जिसका सामान्य रूप ax³ + bx² + cx + d = 0 है। द्विघात समीकरणों के विपरीत, घन समीकरणों में 1, 2, या 3 वास्तविक समाधान हो सकते हैं और इसमें एक सरल बंद-फ़ॉर्म सूत्र नहीं होता है जिसे ज्यादातर लोग स्कूल में सीखते हैं। हालाँकि, वे कार्डानो के सूत्र या संख्यात्मक तरीकों का उपयोग करके हल करने योग्य हैं।
सामान्य प्रपत्र
ax³ + bx² + cx + d = 0
जहां a ≠ 0 (अन्यथा यह घन नहीं है)। समीकरण हो सकता है:
- 3 विशिष्ट वास्तविक जड़ें
- 1 वास्तविक जड़ और 2 जटिल संयुग्मी जड़ें
- एक दोहराया रूट (जब विभेदक शून्य के बराबर होता है)
कार्डानो का फॉर्मूला
कार्डानो के सूत्र का उपयोग करने के लिए, पहले x = t - b/(3a) को प्रतिस्थापित करके घन को दबाएं (x² पद को हटा दें):
t³ + pt + q = 0
फिर विभेदक को शामिल करने वाले एक जटिल सूत्र का उपयोग करके जड़ें पाई जाती हैं:
Δ = -4p³ - 27q²
यदि Δ > 0: तीन भिन्न वास्तविक जड़ें यदि Δ = 0: कम से कम दो समान वास्तविक जड़ें यदि Δ < 0: एक वास्तविक जड़ और दो जटिल संयुग्मी जड़ें
कार्य उदाहरण
x³ - 6x² + 11x - 6 = 0 को हल करें
निरीक्षण या परीक्षण द्वारा हम छोटे पूर्णांकों का परीक्षण कर सकते हैं। परीक्षण x = 1:
1 - 6 + 11 - 6 = 0 ✓
अतः x = 1 एक मूल है। फैक्टरिंग आउट (x - 1):
(x - 1)(x² - 5x + 6) = 0
(x - 1)(x - 2)(x - 3) = 0
तीन मूल x = 1, 2, 3 हैं।
बिना फैक्टरिंग के जड़ें ढूंढना
घन समीकरणों के लिए जो अच्छी तरह से कारक नहीं हैं, इसका उपयोग करें:
- कार्डानो का सूत्र (बीजगणितीय रूप से सटीक लेकिन जटिल)
- न्यूटन-रेफसन जैसी संख्यात्मक विधियाँ (पुनरावृत्त, एक समय में एक मूल ढूँढता है)
- जड़ों का अनुमान लगाने और न्यूटन-रेफसन के साथ परिष्कृत करने के लिए रेखांकन
अनुप्रयोग
घन समीकरण इसमें दिखाई देते हैं:
- इंजीनियरिंग (तनाव-तनाव विश्लेषण, द्रव गतिशीलता)
- भौतिकी (प्रतिरोध माध्यम में प्रक्षेप्य गति, घन सामग्री)
- अर्थशास्त्र (अनुकूलन समस्याएं, उत्पादन लागत घटता)
- कंप्यूटर ग्राफिक्स (घन बेज़ियर वक्र)
सुझावों
यदि आपको परिमेय जड़ों पर संदेह है, तो परिमेय मूल प्रमेय का उपयोग करें: किसी भी परिमेय मूल p/q में p, d को विभाजित करता है और q, a को विभाजित करता है। यह आपके परीक्षण उम्मीदवारों को महत्वपूर्ण रूप से सीमित कर देता है। जड़ों को हमेशा प्रतिस्थापन द्वारा सत्यापित करें।
सभी मूलों को तुरंत ढूंढने के लिए हमारे घन समीकरण सॉल्वर का उपयोग करें, चाहे वास्तविक हों या जटिल।