Körök mindenhol megjelennek — kerekek, csövek, kerek szobák, pizza, bolygók. Két mérőszám határozza meg teljesen az összes kört: a kerület (a széle körüli távolság) és a terület (a belső tér). Mindkettő közvetlenül egyetlen értékből következik: a sugarából.
Kulcsfogalmak
Sugár (r): A kör középpontjától a kerületének bármely pontjáig mért távolság. Ez az alapvető mérőszám — minden körhöz kapcsolódó képlet ezt használja.
Átmérő (d): A körön átmérő középponton keresztüli távolság. Mindig pontosan kétszerese a sugárnak: d = 2r.
Kerület (C): A kör kerülete — a külső szél teljes körüli távolsága.
Terület (A): A kör által bezárt kétdimenziós tér nagysága.
π (pí): Bármely kör kerületének és átmérőjének hányadosa. Irracionális szám (végtelen, nem ismétlődő), értéke körülbelül 3,14159265...
Kerület képlete
C = 2πr vagy egyenértékűen C = πd
Példa: 5 cm sugarú kör
C = 2 × π × 5 = 10π ≈ 31,42 cm
Átmérő segítségével: Ha az átmérőt közvetlenül adják meg:
C = π × d = π × 10 = 10π ≈ 31,42 cm
Mindkettő ugyanazt az eredményt adja — válassza a rendelkezésre álló mérőszámot.
Terület képlete
A = πr²
Példa: Ugyanaz a 5 cm sugarú kör
A = π × 5² = 25π ≈ 78,54 cm²
Megjegyzés: a terület mindig négyzetegységekben van (cm², m², in²). A kerület hosszegységekben van (cm, m, in).
Visszaszámítás kerületből vagy területből
Néha ismerjük a kerületet vagy a területet, és meg kell találnunk a sugarat.
Sugár a kerületből:
r = C / (2π)
Sugár a területből:
r = √(A / π)
Átmérő a kerületből:
d = C / π
Példa: Egy kör alakú mező kerülete 150 m. Mekkora a területe?
- lépés: Keresse meg a sugarat
r = 150 / (2π) = 150 / 6,2832 = 23,87 m
- lépés: Keresse meg a területet
A = π × 23,87² = π × 569,8 ≈ 1 790 m²
Tipikus számítási példák
Kör keresztmetszetű cső
Egy csőnek 40 mm a belső átmérője. Mekkora a keresztmetszeti területe?
r = 40 / 2 = 20 mm
A = π × 20² = 400π ≈ 1 257 mm²
Futópálya
Egy kör alakú futópályának 40 m a sugara. Mekkora távolság egy kör?
C = 2π × 40 = 80π ≈ 251,3 m
Pizza méretének összehasonlítása
Egy 14 colos pizza több, mint két 10 colos pizza?
14 colos pizza:
A = π × 7² = 49π ≈ 153,9 in²
Két 10 colos pizza:
A = 2 × π × 5² = 2 × 25π = 50π ≈ 157,1 in²
Két 10 colos pizza valamivel több pizzát ad — de csak ha az ár összehasonlítható.
Körszektorok és körívek
A körszektor a kör egy „szelete" (mint egy tortaszelet), amelyet egy középponti szög θ határoz meg.
Ívhossz (a szektor ívelt széle):
Ív = (θ / 360) × 2πr [fok]
Ív = θr [radián]
Körszektor területe:
Szektor területe = (θ / 360) × πr² [fok]
Szektor területe = ½r²θ [radián]
Példa: 8 cm sugarú és 45°-os középponti szögű körszektor
Ívhossz = (45 / 360) × 2π × 8 = (1/8) × 16π = 2π ≈ 6,28 cm
Szektor területe = (45 / 360) × π × 64 = (1/8) × 64π = 8π ≈ 25,13 cm²
Gyűrű (körgyűrű)
A körgyűrű két koncentrikus kör közötti terület, amelyek sugara R (külső) és r (belső).
Körgyűrű területe = π(R² − r²) = π(R + r)(R − r)
Példa: Kör alakú keret 10 m külső sugarral és 7 m belső sugarral:
Terület = π(10² − 7²) = π(100 − 49) = 51π ≈ 160,2 m²
Képletek összefoglalása
| Mérőszám | Képlet |
|---|---|
| Kerület | C = 2πr = πd |
| Terület | A = πr² |
| Sugár C-ből | r = C / (2π) |
| Sugár A-ból | r = √(A/π) |
| Ívhossz (fok) | Ív = (θ/360) × 2πr |
| Szektor területe (fok) | A = (θ/360) × πr² |
| Körgyűrű területe | A = π(R² − r²) |
Használja a körcikk-kalkulátorunkat bármely körmérték kiszámításához — adjon meg egy értéket, és azonnal megkapja az összes többit.