A Pitagorasz-tétel az egyik leghíresebb eredmény az egész matematikában – elég egyszerű ahhoz, hogy egy sorban megfogalmazzuk, elég mélyreható ahhoz, hogy több mint 370 bizonyítást lehessen tudni. Itt van minden, amit tudnia kell, a képlettől a gyakorlati alkalmazásokig.
A képlet
Bármely derékszögű háromszög esetén (egy 90°-os szögű háromszög):
a^2 + b^2 = c^2
Ahol a és b a két szár (a derékszöget bezáró oldalak), a c pedig az alsó szög (a derékszöggel ellentétes oldal – mindig a leghosszabb oldal).
Mindkét oldal megtalálása
A hipotenusz megkeresése (c):
c = √(a^2 + b^2)
Láb keresése (a):
a = √(c^2 - b^2)
A másik láb megtalálása (b):
b = √(c^2 - a^2)
Bevált példák
1. példa: Egy derékszögű háromszögnek 3 cm-es és 4 cm-es lábai vannak. Keresse meg a hipotenuszt.
- c = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5 cm
2. példa: Egy 10 méter hosszú létra a falnak támaszkodik, az alapja 4 méterre a faltól. Milyen magasra éri el?
- a = √(10² - 4²) = √(100 - 16) = √84 ≈ 9,17 méter
Pythagorean Triples
A Pitagorasz-hármas három egész szám halmaza, amelyek kielégítik a² + b² = c². Ezek gyakran problémákba ütköznek, és érdemes megjegyezni:
| a | b | c |
|---|---|---|
| 3 | 4 | 5 |
| 5 | 12 | 13 |
| 8 | 15 | 17 |
| 7 | 24 | 25 |
| 20 | 21 | 29 |
A hármas bármely többszöröse is hármas: (6, 8, 10), (9, 12, 15), (15, 20, 25) minden működik.
Egy egyszerű bizonyíték
A legelegánsabb bizonyíték felhasználási területek. Rajzolj egy nagy négyzetet, amelynek oldala (a + b). Rendezd el benne a derékszögű háromszög négy példányát az a és b lábakkal.
A négy háromszög 4 × (½ab) = 2ab területet foglal el. A nagy négyzetben a fennmaradó helynek c²-nek kell lennie (a négyzet a hipotenuszon).
A nagy négyzet területe (a + b)² = a² + 2ab + b².
Tehát: a² + 2ab + b² − 2ab = c²
Ezért: a² + b² = c²
Valós alkalmazások
Építőipari és ácsmunkák
A "3-4-5 szabály" minden nap használatos az építkezéseken annak ellenőrzésére, hogy a sarkok tökéletesen szögletesek-e. Mérjen 3 egységet az egyik fal mentén, 4 egységet a szomszédos fal mentén, majd ellenőrizze, hogy az átló pontosan 5 egység. Ha igen, akkor a szög pontosan 90°.
Navigáció
A GPS előtt a navigátorok folyamatosan használták ezt a tételt. Ha 30 km-re keletre, majd 40 km-re északra utazik, az egyenes vonalú távolság a kiindulástól √(30² + 40²) = √2500 = 50 km.
A modern GPS-rendszerek a tétel 3D kiterjesztését használják a koordináták közötti távolság kiszámításához.
Képernyőméretek
A „65 hüvelykes TV” képernyőjének átlója 65 hüvelyk. Ha ismeri a képarányt (16:9), akkor a tétel segítségével megtalálhatja a pontos szélességet és magasságot. 65" 16:9 képarányú képernyő esetén: szélesség ≈ 56,7", magasság ≈ 31,9".
Mérnöki és fizika
A tétel alapvető a szerkezettervezésben (a teherhordó átlók számítása), a számítógépes grafikában (3D-s jelenetek megjelenítése) és a fizikában (eredményvektorok kiszámítása – két derékszögű erő együttes hatása).
A 3D kiterjesztés: Távolságképlet
A Pitagorasz-tétel természetesen három dimenzióra terjed ki:
d = √((x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2)
Ezt használják számítógépes grafikában, fizikai szimulációkban, GPS-számításokban és minden olyan rendszerben, amely 3D koordinátákkal dolgozik.
Számítsa ki most a Pitagorasz-tételt
Ingyenes számológépünk segítségével megkeresheti egy derékszögű háromszög bármely oldalát a másik kettő mellett. Adja meg bármelyik két oldalt, és azonnal megkapja a harmadikat, lépésről lépésre történő munkavégzéssel együtt.