A kockaegyenlet egy 3. fokú polinom, amelynek általános formája ax³ + bx² + cx + d = 0. A kvadratikus egyenletekkel ellentétben a kockaegyenleteknek 1, 2 vagy 3 valós megoldása lehet, és nem rendelkeznek egyszerű zárt formájú képlettel, amelyet a legtöbben az iskolában tanulnak. Megoldhatók azonban Cardano képletével vagy numerikus módszerekkel.

Az általános forma

ax³ + bx² + cx + d = 0

Ahol a ≠ 0 (különben nem köbös). Az egyenlet lehet:

  • 3 különböző valós gyökér
  • 1 valós gyök és 2 komplex konjugált gyök
  • Ismételt gyök (ha a diszkriminancia nulla)

Cardano képlete

Cardano képletének használatához először nyomjuk le a kockát (szüntessük meg az x² kifejezést) az x = t - b/(3a) helyettesítésével:

t³ + pt + q = 0

Ezután a gyököket a diszkriminanciát tartalmazó komplex képlet segítségével találjuk meg:

Δ = -4p³ - 27q²

Ha Δ > 0: három különböző valós gyök Ha Δ = 0: legalább két egyenlő reális gyök van Ha Δ < 0: egy valós gyök és két komplex konjugált gyök

Működő példa

Oldjuk meg az x³ - 6x² + 11x - 6 = 0 feladatot.

Ellenőrzéssel vagy próbával kis egész számokat tesztelhetünk. Az x = 1 tesztelése:

1 - 6 + 11 - 6 = 0 ✓

Tehát x = 1 egy gyök. (x - 1) faktorálása:

(x - 1)(x² - 5x + 6) = 0
(x - 1)(x - 2)(x - 3) = 0

A három gyök x = 1, 2, 3.

Gyökerek keresése faktorálás nélkül

A nem szépen faktorálható köbös egyenletekhez használd:

  1. Cardano képlete (algebrailag pontos, de bonyolult)
  2. Numerikus módszerek, mint a Newton-Raphson (iteratív, egyszerre egy gyökeret talál)
  3. Grafikus ábrázolás a gyökerek becsléséhez és finomítás Newton-Raphson módszerrel

Alkalmazások

Kubikus egyenletek jelennek meg:

  • Mérnöki tudományok (feszültség-nyúlás analízis, áramlástan)
  • Fizika (lövedék mozgása ellenálló közegben, köbös anyagok)
  • Közgazdaságtan (optimalizálási problémák, termelési költséggörbék)
  • Számítógépes grafika (köbös Bézier-görbék)

Tippek

Ha racionális gyökre gyanakszunk, használjuk a racionális gyök tételt: bármelyik p/q racionális gyöknek p osztja d-t és q osztja a-t. Ez jelentősen leszűkíti a tesztelési lehetőségeket. A gyököket mindig helyettesítéssel ellenőrizze.

A Kubikus egyenlet megoldó segítségével azonnal megtalálhatja az összes gyököt, legyen az valós vagy komplex.