A másodfokú egyenlet alakja ax² + bx + c = 0. Négy módszer létezik a megoldásukra – ha tudjuk, melyiket és mikor kell használni, az algebra sokkal gyorsabbá válik.

Szabványos űrlap

Minden másodfokú egyenlet felírható így:

ax² + bx + c = 0

Ahol a ≠ 0 (ha a = 0, ez egy lineáris egyenlet).

Példák:

  • x² − 5x + 6 = 0 (a=1, b=–5, c=6)
  • 2x² + 3x − 2 = 0 (a=2, b=3, c=-2)
  • x² − 9 = 0 (a=1, b=0, c=–9)

1. módszer: Faktorozás

Akkor működik a legjobban, ha az egyenletet egyértelműen egész számokká alakítják. A leggyorsabb módszer adott esetben.

Lépések:

  1. Írja szabványos formában
  2. Keressen két olyan számot, amelyek szorozzák (a × c)-t, és adják hozzá b-hez
  3. Csoportosítással ossza fel a középső tagot és a faktort
  4. Minden tényezőt állítson nullára

Példa: x² − 5x + 6 = 0

  • Két számra van szükség: szorozd 6-ra, add hozzá -5-hez → -2 és -3
  • Tényező: (x − 2)(x − 3) = 0
  • Megoldások: x = 2 vagy x = 3

Példa: 2x² + 5x + 3 = 0

  • a × c = 6, 5-höz hozzáadandó tényezők szükségesek → 2 és 3
  • Újraírás: 2x² + 2x + 3x + 3 = 0
  • Tényező: 2x(x + 1) + 3(x + 1) = 0
  • Tényező: (2x + 3) (x + 1) = 0
  • Megoldások: x = -3/2 vagy x = -1

Mikor kell használni: Amikor gyorsan észleli a tényezőket. Ha nem talál faktorokat 30 másodpercen belül, váltson módszert.

2. módszer: A másodfokú képlet

minden másodfokú egyenlethez működik. Használja ezt, ha a faktoring nem nyilvánvaló.

x = (−b ± √(b² − 4ac)) ÷ (2a)

Példa: 2x² + 3x − 2 = 0 (a=2, b=3, c=-2)

  • Diszkriminans: b² − 4ac = 9 − (4 × 2 × −2) = 9 + 16 = 25
  • √25 = 5
  • x = (-3 ± 5) ÷ 4
  • x = (-3 + 5) ÷ 4 = 0,5 vagy x = (-3 - 5) ÷ 4 = -2

A diszkrimináns: hány megoldás?

A b² − 4ac kifejezés a megoldások természetét mondja meg, mielőtt megoldaná:

Diszkrimináns Megoldások száma Írja be
b² − 4ac > 0 Két különálló valós megoldás Valós számok
b² − 4ac = 0 Egy ismételt megoldás Valódi, egyenlő gyökerek
b² − 4ac < 0 Nincsenek valódi megoldások Két összetett/képzelt gyökér

Példa: x² + 2x + 5 = 0

  • Diszkriminans = 4 − 20 = −16 → nincs valódi megoldás
  • Komplex megoldások: x = (−2 ± √(−16)) ÷ 2 = −1 ± 2i

3. módszer: A négyzet kitöltése

Az egyenletet (x + p)² = q alakra alakítja. Nélkülözhetetlen a csúcsforma megértéséhez és a másodfokú képlet levezetéséhez.

Lépések:

  1. Állandó mozgás a jobb oldalra
  2. Oszd el a-val (ha a ≠ 1)
  3. Adjon hozzá (b/2a)²-t mindkét oldalhoz
  4. Tényező bal oldal, mint egy tökéletes négyzet
  5. Vegyünk négyzetgyököt mindkét oldalról

Példa: x² + 6x + 5 = 0

  1. x² + 6x = −5
  2. Adjon hozzá (6/2)² = 9 mindkét oldalhoz: x² + 6x + 9 = 4
  3. (x + 3)² = 4
  4. x + 3 = ±2
  5. x = −1 vagy x = −5

4. módszer: Grafikonkészítés

A megoldások (gyökök) az y = ax² + bx + c parabola x-metszete.

  • Két x-metszet → két valós megoldás
  • Egy x-metszet (csúcs az x-tengelyen) → egy ismételt megoldás
  • Nincs x-metszet → nincsenek valódi megoldások (összetett gyökök)

Mikor érdemes használni: A vizuális megértéshez vagy grafikus számológép használatakor. Nem praktikus a pontos válaszokhoz.

A megfelelő módszer kiválasztása

Helyzet Legjobb Módszer
Egész együtthatók, faktorálhatónak tűnik Először a faktorálás
Bármilyen másodfokú, pontos válasz kell Másodfokú képlet
A csúcs/minimum/maximum megértése A négyzet befejezése
Vizuális megértés vagy közelítés Grafikonozás
b² − 4ac < 0 Másodfokú képlet (összetett gyökereket ad)

Gyorsreferencia: Gyakori minták

Négyzetek különbsége: x² − k² = (x + k)(x − k) = 0 → x = ±k

Tökéletes négyzetháromtag: x² + 2kx + k² = (x + k)² = 0 → x = −k (ismétlődő)

Nincs középtag: ax² + c = 0 → x = ±√(−c/a) (csak akkor valós, ha c és a ellentétes előjelű)

Gyökerek összege és szorzata

Ax² + bx + c = 0 esetén r₁ és r2 gyökökkel:

r₁ + r₂ = −b/a
r₁ × r₂ = c/a

Példa ellenőrzés: x² − 5x + 6 = 0, 2. és 3. gyök:

  • Összeg: 2 + 3 = 5 = −(−5)/1 ✓
  • Termék: 2 × 3 = 6 = 6/1 ✓

Használja köbös egyenletmegoldónkat a 3. fokú egyenletekhez, vagy alkalmazza a fenti másodfokú képletet bármely szabványos másodfokúra.