Persamaan kubik adalah polinomial berderajat 3, dengan bentuk umum ax³ + bx² + cx + d = 0. Berbeda dengan persamaan kuadrat, persamaan kubik dapat memiliki 1, 2, atau 3 solusi nyata dan tidak memiliki rumus bentuk tertutup sederhana yang dipelajari kebanyakan orang di sekolah. Namun, masalah tersebut dapat diselesaikan menggunakan rumus atau metode numerik Cardano.

Bentuk Umum

ax³ + bx² + cx + d = 0

Dimana a ≠ 0 (jika tidak maka bukan kubik). Persamaannya dapat memiliki:

  • 3 akar nyata yang berbeda
  • 1 akar real dan 2 akar konjugasi kompleks
  • Akar berulang (ketika diskriminannya sama dengan nol)

Rumus Cardano

Untuk menggunakan rumus Cardano, tekan dulu pangkat tiga (hilangkan suku x²) dengan mensubstitusikan x = t - b/(3a):

t³ + pt + q = 0

Kemudian akar-akarnya dicari menggunakan rumus kompleks yang melibatkan diskriminan:

Δ = -4p³ - 27q²

Jika Δ > 0: tiga akar real berbeda Jika Δ = 0: paling sedikit dua akar real yang sama Jika Δ < 0: satu akar real dan dua akar konjugasi kompleks

Contoh yang Berhasil

Selesaikan x³ - 6x² + 11x - 6 = 0

Dengan inspeksi atau uji coba, kita dapat menguji bilangan bulat kecil. Pengujian x = 1:

1 - 6 + 11 - 6 = 0 ✓

Jadi x = 1 adalah akar. Memfaktorkan keluar (x - 1):

(x - 1)(x² - 5x + 6) = 0
(x - 1)(x - 2)(x - 3) = 0

Ketiga akarnya adalah x = 1, 2, 3.

Mencari Akar Tanpa Memfaktorkan

Untuk persamaan kubik yang faktornya tidak bagus, gunakan:

  1. Rumus Cardano (tepat secara aljabar tetapi rumit)
  2. Metode numerik seperti Newton-Raphson (berulang, mencari akar satu per satu)
  3. Membuat grafik untuk memperkirakan akar dan menyempurnakannya dengan Newton-Raphson

Aplikasi

Persamaan kubik muncul di:

  • Teknik (analisis tegangan-regangan, dinamika fluida)
  • Fisika (gerakan proyektil dalam medium hambatan, material kubik)
  • Ekonomi (masalah optimasi, kurva biaya produksi)
  • Grafik komputer (kurva Bézier kubik)

Kiat

Jika Anda mencurigai akar rasional, gunakan Teorema Akar Rasional: setiap akar rasional p/q memiliki p yang membagi d dan q yang membagi a. Ini mempersempit kandidat pengujian Anda secara signifikan. Selalu verifikasi akar dengan substitusi.

Gunakan Pemecah Persamaan Kubik untuk menemukan semua akar secara instan, baik real maupun kompleks.