Persamaan kuadrat berbentuk ax² + bx + c = 0. Ada empat metode untuk menyelesaikannya — mengetahui mana yang harus digunakan dan kapan akan membuat aljabar lebih cepat.
Bentuk Standar
Setiap persamaan kuadrat dapat ditulis sebagai:
ax² + bx + c = 0
Dimana a ≠ 0 (jika a = 0 maka persamaan linear).
Contoh:
- x² − 5x + 6 = 0 (a=1, b=−5, c=6)
- 2x² + 3x − 2 = 0 (a=2, b=3, c=−2)
- x² − 9 = 0 (a=1, b=0, c=−9)
Metode 1: Anjak Piutang
Berfungsi paling baik jika persamaan difaktorkan menjadi bilangan bulat. Metode tercepat bila diterapkan.
Tangga:
- Tulis dalam bentuk standar
- Temukan dua bilangan yang dikalikan dengan (a × c) dan dijumlahkan dengan b
- Pisahkan suku tengah dan faktornya dengan mengelompokkannya
- Tetapkan setiap faktor sama dengan nol
Contoh: x² − 5x + 6 = 0
- Butuh dua angka: kalikan dengan 6, tambahkan dengan −5 → −2 dan −3
- Faktor: (x − 2)(x − 3) = 0
- Penyelesaian: x = 2 atau x = 3
Contoh: 2x² + 5x + 3 = 0
- a × c = 6, perlu faktor penjumlahan 5 → 2 dan 3
- Tulis ulang: 2x² + 2x + 3x + 3 = 0
- Faktor: 2x(x + 1) + 3(x + 1) = 0
- Faktor: (2x + 3)(x + 1) = 0
- Penyelesaian: x = −3/2 atau x = −1
Kapan menggunakan: Saat Anda dapat mengenali faktornya dengan cepat. Jika Anda tidak menemukan faktor dalam 30 detik, ganti metode.
Metode 2: Rumus Kuadrat
Berfungsi untuk setiap persamaan kuadrat. Gunakan ini ketika pemfaktoran tidak jelas.
x = (−b ± √(b² − 4ac)) ÷ (2a)
Contoh: 2x² + 3x − 2 = 0 (a=2, b=3, c=−2)
- Diskriminan: b² − 4ac = 9 − (4 × 2 × −2) = 9 + 16 = 25
- √25 = 5
- x = (−3 ± 5) 4
- x = (−3 + 5) − 4 = 0,5 atau x = (−3 − 5) − 4 = −2
Yang Diskriminan: Berapa Banyak Solusinya?
Ekspresi b² − 4ac memberi tahu Anda sifat solusi sebelum Anda menyelesaikannya:
| Diskriminan | Jumlah Solusi | Jenis |
|---|---|---|
| b² − 4ac > 0 | Dua solusi nyata yang berbeda | Bilangan nyata |
| b² − 4ac = 0 | Satu solusi berulang | Nyata, akar yang sama |
| b² − 4ac < 0 | Tidak ada solusi nyata | Dua akar kompleks/imajiner |
Contoh: x² + 2x + 5 = 0
- Diskriminan = 4 − 20 = −16 → tidak ada solusi real
- Penyelesaian kompleks: x = (−2 ± √(−16)) 2 = −1 ± 2i
Metode 3: Menyelesaikan Kotak
Ubah persamaan menjadi bentuk (x + p)² = q. Penting untuk memahami bentuk simpul dan menurunkan rumus kuadrat.
Tangga:
- Pindahkan konstanta ke sisi kanan
- Bagilah dengan a (jika a ≠ 1)
- Tambahkan (b/2a)² pada kedua sisi
- Faktorkan sisi kiri sebagai persegi sempurna
- Ambil akar kuadrat kedua ruasnya
Contoh: x² + 6x + 5 = 0 1.x² + 6x = −5 2. Tambahkan (6/2)² = 9 pada kedua ruas: x² + 6x + 9 = 4 3. (x + 3)² = 4 4.x + 3 = ±2 5. x = −1 atau x = −5
Metode 4: Membuat Grafik
Solusi (akar) adalah titik potong x pada parabola y = ax² + bx + c.
- Dua titik potong x → dua solusi nyata
- Satu titik potong x (titik pada sumbu x) → satu penyelesaian berulang
- Tidak ada perpotongan x → tidak ada solusi nyata (akar kompleks)
Kapan menggunakan: Untuk pemahaman visual atau saat menggunakan kalkulator grafik. Tidak praktis untuk jawaban yang tepat.
Memilih Metode yang Tepat
| Situasi | Metode Terbaik |
|---|---|
| Koefisien bilangan bulat, terlihat dapat difaktorkan | Memfaktorkan terlebih dahulu |
| Kuadrat apa pun, butuh jawaban pasti | Rumus kuadrat |
| Memahami titik/minimum/maksimum | Menyelesaikan alun-alun |
| Pemahaman atau perkiraan visual | Grafik |
| b² − 4ac < 0 | Rumus kuadrat (memberikan akar kompleks) |
Referensi Cepat: Pola Umum
Selisih kuadrat: x² − k² = (x + k)(x − k) = 0 → x = ±k
Trinomial persegi sempurna: x² + 2kx + k² = (x + k)² = 0 → x = −k (diulang)
Tidak ada suku tengah: ax² + c = 0 → x = ±√(−c/a) (nyata hanya jika c dan a mempunyai tanda berlawanan)
Jumlah dan Produk Akar
Untuk ax² + bx + c = 0 dengan akar r₁ dan r₂:
r₁ + r₂ = −b/a
r₁ × r₂ = c/a
Contoh verifikasi: x² − 5x + 6 = 0, akar 2 dan 3:
- Jumlah: 2 + 3 = 5 = −(−5)/1 ✓
- Produk: 2 × 3 = 6 = 6/1 ✓
Gunakan pemecah persamaan kubik kami untuk persamaan derajat-3, atau terapkan rumus kuadrat di atas untuk persamaan kuadrat standar apa pun.