Un numero primo è un numero intero maggiore di 1 che ha esattamente due fattori: 1 e se stesso. I numeri primi sono gli elementi costitutivi di tutti i numeri interi: ogni numero intero può essere espresso come prodotto di numeri primi.
I primi 25 numeri primi
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97
Tieni presente che 2 è l'unico numero primo pari. Tutti gli altri numeri pari sono divisibili per 2.
Metodo 1: Divisione di prova
Il modo più semplice per verificare se un numero è primo è controllare se qualche numero fino alla radice quadrata lo divide equamente.
Approfondimento chiave: Se n ha un fattore maggiore di √n, ha anche un fattore corrispondente minore di √n. Quindi devi solo controllare fino a √n.
Algoritmo:
- Se n < 2, non primo
- Se n = 2, primo
- Se n è pari (tranne 2), non è primo
- Controlla tutti i numeri dispari da 3 a √n
- Se presente, dividi n equamente, non primo
- Altrimenti, primo
Esempio: 97 è primo?
√97 ≈ 9,85, quindi controlla i numeri primi fino a 9: 2, 3, 5, 7
- 97 ÷ 2 = 48,5 (non intero)
- 97 ÷ 3 = 32,33... (non intero)
- 97 ÷ 5 = 19,4 (non intero)
- 97 ÷ 7 = 13,86 (non intero)
Nessun divisore trovato — 97 è primo.
Esempio: 91 è primo?
√91 ≈ 9,54, controlla fino a 9: 2, 3, 5, 7
- 91 ÷ 7 = 13 (numero intero!)
91 non è primo — 91 = 7 × 13.
Metodo 2: Setaccio di Eratostene
Il Setaccio di Eratostene trova tutti i numeri primi fino ad un dato limite. È veloce ed elegante, inventato dal matematico greco Eratostene intorno al 240 a.C.
Per trovare tutti i numeri primi fino a 50:
- Scrivi i numeri da 2 a 50
- Inizia con 2 (primo numero primo). Cancella tutti i multipli di 2 (4, 6, 8...)
- Passare al numero successivo non barrato: 3. Cancellare i multipli di 3 (9, 15, 21...)
- Successivo non barrato: 5. Cancella i multipli di 5 (25, 35...)
- Successivo non barrato: 7. Cancella i multipli di 7 (49...)
- Fermati quando raggiungi √50 ≈ 7.07
- Tutti i restanti numeri non incrociati sono primi
Primi fino a 50: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47
Numeri primi fino a 100: Elenco completo
| Allineare | Primi |
|---|---|
| 1–10 | 2, 3, 5, 7 |
| 11-20 | 11, 13, 17, 19 |
| 21–30 | 23, 29 |
| 31–40 | 31, 37 |
| 41–50 | 41, 43, 47 |
| 51–60 | 53, 59 |
| 61–70 | 61, 67 |
| 71–80 | 71, 73, 79 |
| 81–90 | 83, 89 |
| 91-100 | 97 |
Ci sono 25 numeri primi inferiori a 100.
Test rapidi di divisibilità
Prima di eseguire la divisione completa, controlla queste regole:
| Divisibile per | Se... |
|---|---|
| 2 | L'ultima cifra è pari (0,2,4,6,8) |
| 3 | Somma di cifre divisibile per 3 |
| 5 | L'ultima cifra è 0 o 5 |
| 7 | Nessuna regola semplice: basta dividere |
| 11 | Somma di cifre alternate divisibile per 11 |
Esempio: 143 è primo?
- Nemmeno ✓
- 1+4+3 = 8, non divisibile per 3 ✓
- Non termina con 0 o 5 ✓
- √143 ≈ 11,96, controlla fino a 11
- 143 ÷ 7 = 20,43 ✓
- 143 ÷ 11 = 13 — divisibile!
143 = 11 × 13. Non primo.
Perché i numeri primi sono importanti
Crittografia: la crittografia RSA, utilizzata per proteggere l'internet banking, HTTPS e la posta elettronica, si basa sul fatto che moltiplicare due grandi numeri primi è facile, ma fattorizzare il risultato in numeri primi è estremamente difficile.
Informatica: le tabelle hash, i generatori di numeri casuali e i checksum utilizzano le proprietà dei numeri primi.
Matematica pura: la distribuzione dei numeri primi rimane uno dei problemi irrisolti più profondi della matematica: l'ipotesi di Riemann.
Fatti interessanti
- Il più grande numero primo conosciuto (al 2024) ha oltre 41 milioni di cifre
- I numeri primi gemelli sono numeri primi che differiscono di 2 (11 e 13, 17 e 19, 41 e 43)
- Esistono infiniti numeri primi — dimostrato da Euclide intorno al 300 a.C
- Congettura di Goldbach (non dimostrata dal 1742): ogni numero pari > 2 è somma di due numeri primi