とは何か Yield to Maturity Calculator?
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満期利回り（YTM）とは、すべてのクーポン支払いが同じ利回りで再投資されると仮定して、投資家が現在の市場価格で債券を購入し、満期まで保有した場合に得られる年換算リターンの合計です。 YTM は債券の内部収益率 (IRR) に相当します。これは、将来のすべてのキャッシュ フロー (クーポンと元本返済) の現在価値を債券の現在の市場価格と等しくする割引率です。 YTM は、3 つの収益源を考慮しているため、債券の最も包括的な利回り指標です。(1) 定期的に受け取るクーポン収入、(2) 購入価格と満期時に受け取る額面との間のキャピタルゲインまたはロス (たとえば、950 ドルで債券を購入し、満期時に 1,000 ドルを受け取る場合、50 ドルの差がリターンに追加されます)、および (3) 受け取ったクーポンを YTM レートで投資することで得られる再投資収入。 YTM は同じ利回りでのクーポン再投資を前提としているため、これは仮説上の尺度であり、債券の存続期間中に再投資率が変化した場合、実際の実現収益は異なります。 YTM は、債券がより頻繁にクーポンを支払う場合でも、常に年換算ベースで見積もられます。半年クーポン債（米国の慣例）の場合、YTM は債券等価利回り（BEY）として見積もられます。これは半年定期金利の 2 倍です。これにより、クーポン頻度が異なる債券間の直接比較が可能になります。 価格と YTM の関係は逆です。債券の市場価格が額面よりも上昇する場合 (プレミアム債)、その YTM はクーポン レートを下回ります。価格が額面（割引債券）を下回ると、YTM はクーポン レートを超えます。額面では、YTM はクーポン レートとまったく同じになります。この逆関係は債券投資の基本原理であり、金利が上昇すると債券価格が下落し、金利が上昇すると債券価格が下落する理由を説明します。 YTM は、債券の評価と比較、イールド カーブの構築、クレジット スプレッド分析 (YTM から財務省 YTM を差し引いたもの)、デュレーションの計算、コーポレート ファイナンスにおける債務コストの推定 (WACC の計算で使用) の基礎として機能します。 YTM を理解することは、債券市場のすべての参加者にとって不可欠です。
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公式
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P = Σ [C / (1 + YTM/m)^t] + F / (1 + YTM/m)^n
(YTM について反復的に解く; 近似: YTM ≈ [C + (F−P)/n] / [(F+P)/2])変数の説明
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| 記号 | 名前 | 単位 | 説明 |
|---|---|---|---|
| YTM | 満期までの利回り | % per year | 将来のすべてのキャッシュ フローの現在価値を債券の現在の市場価格に等しくする年換算の割引率。 |
| P | 現在の債券価格 | currency | 今日の債券の市場価格 (投資家が債券を購入するために支払う金額)。 |
| C | クーポン支払い | currency per period | 定期的な利息の支払い: C = 額面 × 年間クーポン レート / クーポン頻度。 |
| F | 額面（額面） | currency | 満期時に返済される元金。通常、米国国債および社債の場合は 1,000 ドルです。 |
| n | 期間の数 | count | 満期までに残っているクーポン期間の合計数 (例: 10 年半年債券の場合は 20 期間)。 |
| t | 期間番号 | count | 各クーポン支払いの時間インデックス (1 から n)。現在価値の合計計算式で使用されます。 |
方法 Yield to Maturity Calculator
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- 1債券の主要なパラメータを特定します: 現在の市場価格 (P)、額面 (F)、年間クーポン レート、クーポン頻度 (m)、満期までの年数。
- 2定期的なクーポンの支払いを計算します: C = F × (年間クーポン率 / m)。半年ごとに支払われる年利 5% の 1,000 ドル債券の場合: C = 1,000 ドル × 0.05/2 = 期間あたり 25 ドル。
- 3クーポン期間の合計数を決定します: n = 満期までの年数 × m。 10 年半年債には n = 20 期間があります。
- 4YTM 方程式を設定します。P = Σ [C / (1+r)^t] (t=1 ～ n の場合) に F/(1+r)^n を加えます。ここで、r = YTM/m (周期収量)。この方程式には閉形式の解がないため、数値的に解く必要があります。
- 5反復法 (ニュートン・ラフソン計算、二分計算、金融計算) を使用して、方程式を満たす r の値を見つけます。最初の推測 (クーポン レートなど) から開始し、暗示価格を計算し、実際の価格と比較し、収束するまでそれに応じて r を調整します。
- 6期間利回りを年換算 YTM に変換します: YTM = r × m (米国市場の債券等価利回り慣例)。月次期間 (m=12) の場合、YTM = r × 12。
- 7YTM を解釈します。(信用スプレッドを計算するため) 実勢国債利回りと比較し、(債券はプレミアムで取引されているのか、割引されているのか、それとも額面で取引されているのか)、クーポンレートと比較し、(相対価値分析のため) 比較可能な債券の利回りと比較します。
解いた例
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価格が額面と等しい場合、YTM は常にクーポン レートと等しくなります。
債券が額面（額面）で取引される場合、満期時のキャピタルゲインやキャピタルロスはなく、クーポン収入のみが発生します。したがって、YTM はクーポン レートの 4.50% と正確に等しくなります。これは数学的恒等式です。P = F を YTM 式に挿入すると、常に YTM = クーポン レートが生成されます。この10年国債を額面で購入した投資家は、再投資を4.50％と仮定すると、クーポン収入だけで年間4.50％のリターンを得る。この関係は最も単純なケースであり、YTM 計算を直感的に確認できます。
割引債券: 満期時のキャピタルゲインにより、YTM はクーポンレートを上回ります。
この社債は額面の 1,000 ドルを下回る 920 ドルで取引されています (割引債)。投資家は、25 ドルの半年クーポンと、満期時に 80 ドルのキャピタルゲイン (1,000 ドル − 920 ドル) を受け取ります。クーポン収入とキャピタルゲインの両方が YTM に寄与し、クーポン レートの 5.0% を上回ります。 YTM の 6.22% は、両方のソースを組み合わせた年換算リターンの合計を表します。この割引は、債券発行以来の市場金利の上昇、発行体の信用度の悪化、あるいはその両方を反映していると考えられます。同等の財務省との信用スプレッドは約 6.22% − 4.50% = 172 ベーシス ポイントです。
プレミアム債券: 満期時のキャピタルロスにより、YTM がクーポンレートを下回ります。
1,080 ドルで取引されている地方債は、満期時に 80 ドル (1,080 ドル − 1,000 ドル) のキャピタルロスが発生します。このキャピタルロスは 6% という高いクーポンを部分的に相殺し、YTM は 4.28% となり、クーポンレートを下回ります。プレミアム債券は、債券が発行されてから市場の実勢利回りが低下した場合、または債券に信用品質プレミアムが付加されている場合、額面以上で取引されます。地方債の場合、税相当 YTM は名目 YTM よりも高くなります。つまり、32% 課税層の投資家にとって、非課税 4.28% ≈ 6.29% 課税相当利回りとなり、この債券は高利回りの課税債と競争力があります。
すべての利益は資本の上昇から得られます。再投資リスクはありません。
ゼロクーポン債にはクーポンは支払われません。すべての収益は、購入価格 (620.92 ドル) と満期時に受け取る額面 (1,000 ドル) の差額から得られます。 YTM 4.77% は直接計算されます: (1,000/620.92)^(1/10) − 1 = 年間 4.77%。ゼロクーポン債には、再投資のための中間キャッシュフローがないため、再投資のリスクがありません。これは重要な利点です。ゼロクーポン債券の YTM は、保有期間中の再投資金利の変動に関係なく、満期まで保有した場合に保証される年率リターンです。これにより、将来の特定のキャッシュ フロー ニーズに対応するのに最適です。
実際の応用
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債券の評価と投資の選択: 債券全体で YTM を比較し、相対的な価値の機会を特定します。満期利回りによる正確な満期利回り分析により、専門的なワークフローにおける証拠に基づく意思決定と定量的な厳密さがサポートされます。
コーポレートファイナンス: WACC への入力として発行済社債の YTM を使用した債務コストの推定。満期利回りによる正確な満期利回り分析により、専門的なワークフローにおける証拠に基づく意思決定と定量的な厳密さがサポートされます。
イールドカーブの構築: デリバティブ価格設定のためのクーポン債 YTM からゼロクーポン利回りをブートストラップします。満期までの利回りによる正確な満期までの利回り分析が、専門的なワークフローにおける証拠に基づいた意思決定と定量的な厳密性をサポートします。
信用分析: 信用リスクに対する相対的な補償を評価するために、米国債の信用スプレッドを計算します。満期までの利回り分析による正確な満期までの利回り分析は、専門的なワークフローにおける証拠に基づく意思決定と定量的な厳密さをサポートします。
債券ポートフォリオ管理: ポートフォリオ利回りのモニタリングとベンチマーク利回りとの比較
特殊なケース
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実際には、標準的な仮定が当てはまらない可能性があるため、この特殊なケースについては慎重に検討する必要があります。満期利回り計算ツールの計算でこのシナリオに遭遇した場合、実務者は境界条件を検証し、ゼロ除算のリスクをチェックし、これらの極端な条件下でもモデルの仮定が有効であり続けるかどうかを検討する必要があります。
実際には、標準的な仮定が当てはまらない可能性があるため、この特殊なケースについては慎重に検討する必要があります。満期利回り計算ツールの計算でこのシナリオに遭遇した場合、実務者は境界条件を検証し、ゼロ除算のリスクをチェックし、これらの極端な条件下でもモデルの仮定が有効であり続けるかどうかを検討する必要があります。
実際には、標準的な仮定が当てはまらない可能性があるため、この特殊なケースについては慎重に検討する必要があります。満期利回り計算ツールの計算でこのシナリオに遭遇した場合、実務者は境界条件を検証し、ゼロ除算のリスクをチェックし、これらの極端な条件下でもモデルの仮定が有効であり続けるかどうかを検討する必要があります。
米国財務省イールドカーブの基準点（過去の平均値の近似値）
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| 成熟 | 2008 年以前の平均 YTM | 2008 年以降の安値 (2020 ～ 2021 年) | 2023 ～ 2024 年のレベル |
|---|---|---|---|
| 3 か月の短期短期証券 | 4.5 – 5.5% | 0.05～0.10% | 5.0～5.5% |
| 2年財務省 | 4.5 – 5.5% | 0.10～0.25% | 4.5～5.0% |
| 5年物財務省 | 4.5 – 5.5% | 0.30～0.80% | 4.2 – 4.7% |
| 10年物財務省 | 4.5 – 5.5% | 0.50 – 1.50% | 4.0～4.7% |
| 30年国債 | 5.0～6.0% | 1.20 – 2.30% | 4.2～5.0% |
| 投資級軍団 (10年) | 5.5～7.0% | 2.0～3.5% | 5.5 – 6.5% |
| 高収量軍団 (5年) | 8.0～12.0% | 5.0～7.0% | 8.0～10.0% |
よくある質問
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YTM、現在利回り、クーポン利回りの違いは何ですか?
クーポン利回り (または名目利回り) は、単に年間クーポンを額面で割ったものであり、債券の市場価格に関係なく変化しません。現在の利回りは、年間クーポンを現在の市場価格で割ったものです。現在の投資額に対する収益率を反映していますが、満期時のキャピタルゲイン/ロスや再投資収入は無視されています。 YTM は最も包括的な尺度であり、クーポン収入、満期時のキャピタルゲインまたはキャピタルロス、および現在価値割引によるお金の時間価値を組み込んでいます。 YTM は、債券が満期まで保有された場合の年間総収益を表すため、投資の意思決定においては、一般に YTM が最も関連性の高い利回り指標となります。
YTM が同じレートでクーポン再投資を前提としているのはなぜですか?
YTM は内部収益率、つまりすべてのキャッシュ フローを現在の価格に等しくする単一の比率として計算されます。数学的構造により、この計算は、受け取った各クーポンが債券の残りの耐用年数にわたって同じレート (YTM) で直ちに再投資されることを前提としています。実際には、再投資金利は変動します。購入後に金利が下がった場合、クーポンはより低い金利で再投資されます (総収益は YTM を下回ります)。レートが上昇すると、クーポンの獲得額が増加します（YTM を上回る総収益が増加します）。この再投資率の不確実性は再投資リスクと呼ばれ、実現収益が購入時に計算された YTM と異なる可能性がある主な理由です。ゼロクーポン債は再投資リスクのない唯一の債券です。
YTM は債券価格とどのような関係があるのでしょうか?また、なぜ反対方向に動くのでしょうか?
YTM は将来のキャッシュ フローに適用される割引率であるため、債券価格と YTM は逆相関の関係にあります。 YTM が上昇すると（市場金利の上昇や信用リスクの増加を反映して）、固定将来キャッシュ フローの現在価値が減少するため、債券の価格は下落します。逆に、YTM が下落すると、将来のキャッシュ フローが低い率で割り引かれ、現在価値が増加し、債券価格が上昇します。これが基本的なメカニズムです。つまり、固定クーポン付きの既存の債券は、新債券の利回りが高い場合には価値が低くなり、新債券の利回りが低い場合には価値が高くなります。この価格感応度の大きさは、デュレーションによって測定されます。
Yield to Call (YTC) とは何ですか?いつ重要になりますか?
コール利回り (YTC) は、債券が満期まで保有されるのではなく、最初のコール日にコールされた (発行者によって早期償還された) 場合に得られる利回りです。これは YTM と同様に計算されますが、コール価格 (通常は額面かわずかに上回る) を最終キャッシュ フローとして使用し、最初のコール日までの時間を n として使用します。 YTC は請求可能債券にとって重要です。市場利回りがクーポン レートを大幅に下回っている場合、発行者は債券を低コストで借り換える可能性が高く、YTC は YTM よりも投資家の実現利回りのより適切な推定値となります。コール可能債券を評価する場合、投資家は最悪利回り (YTW) (YTM、YTC、およびその他のコール/プット日までの利回りの最小値) を最も保守的なリターン推定値として考慮する必要があります。
YTMカーブ（利回り曲線）の意味は何ですか？
利回り曲線は、1 か月から 30 年以上までのさまざまな満期にわたる比較可能な債券 (同じ信用度、通常は国債) の YTM をプロットします。通常のイールドカーブは上向きに傾いています（満期が長いほどYTMは高くなります）。これは、資本を長期間ロックするために必要なリスクプレミアムを反映しています。逆イールドカーブ（短期 YTM が長期 YTM を上回る）は歴史的に信頼できる景気後退予測因子であり、2006 年、2019 年、2022 年に発生しました。平らなイールドカーブでは、満期を延長しても追加のリターンはほとんどありません。イールドカーブは、債券価格設定、金融政策分析、経済予測の基礎です。
税金は投資家にとって効果的な YTM にどのような影響を及ぼしますか?
税務上の処理により、実質的な税引き後 YTM が大幅に変わる可能性があります。米国では、社債や国債からのクーポン収入は通常の所得として課税されますが、（割引債券からの）キャピタルゲインはより低いキャピタルゲイン税率で課税される場合があります。地方債の利子は通常、連邦所得税と州税が免除されるため、税相当額 YTM = 地方自治体 YTM / (1 − 税率) が適切な比較となります。オリジナル発行割引 (OID) 債券は課税をさらに複雑にします。割引は毎年増加し、現金を受け取らなくても毎年経常所得として課税されます。高税率の投資家は、異なる税制上の債券を比較する際に、常に税引き後の YTM を計算する必要があります。
YTM がマイナスになることはありますか?それは何を意味しますか?
はい。マイナス YTM は、投資家が将来受け取るすべてのキャッシュ フローの合計よりも多くの金額を債券に支払った場合に発生します。これは2015年から2022年にかけて欧州と日本の国債市場で広範囲に起こり、中央銀行の債券購入プログラムにより価格が高騰しすぎて利回りがマイナスとなった。マイナスの YTM を受け入れる投資家は、本質的に、国債を保有することによる安全性、流動性、または規制上の利点に対して代価を支払っていることになります。国債は満期まで保有すれば名目で損失が保証されています。マイナスの利回りはデフレ期待を反映している可能性もあります。価格が下落している場合でも、名目利回りがマイナスであっても、実質利回りはプラスである可能性があります。米国では、2008年と2020年の市場パニックの際、短期国債利回りが一時的にマイナスに転じた。
避けるべきよくある間違い
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- !債券のクーポンレートを YTM の代用として使用します。これは、債券が正確に額面で取引されている場合にのみ正確です。
- !米国の半年ごとのクーポン規約を考慮するのを忘れています。半年ごとの債券では、年間クーポン利率を半分にし、期間数を 2 倍にする必要があります。
- !クーポン日の間に購入された債券の YTM を計算する際に、ダーティ価格ではなくクリーン価格を使用します。これは YTM を過大評価します。
- !YTM の再投資の前提を無視する — クーポン再投資率は時間の経過とともに変化するため、YTM は保証された実現収益ではなく、約束された利回りです。
- !適切な調整を行わずに、信用度、クーポン頻度、税金処理が異なる債券間で YTM を比較する。
プロのヒント
投資決定のために債券を比較する場合は、常に YTM と合わせてクレジット スプレッド (YTM から同等の満期の国債 YTM を差し引いたもの) を計算します。 YTM の高さは単にデフォルト リスクの高さを反映している可能性があります。クレジット スプレッドは、追加のリスクを負担することでどれだけの追加利回りを獲得できるかを示します。
ご存知でしたか？
YTM を閉形式で解くことは数学的に不可能です (n 次の多項式を解く必要がありますが、アーベル・ルフィニの定理による n > 4 の解析解は存在しません) ということは、Excel、ブルームバーグ、金融電卓など、目にするすべての YTM 計算が反復数値アルゴリズムを使用していることを意味します。これは、19 世紀に収量計算が初めて標準化されて以来、当てはまります。
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参考文献
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