数学の問題に対して他の人と異なる答えが得られたことがあり、お互いに自分が正しいと確信していた場合、その原因はほぼ確実に演算順序にあります。
演算の順序は、数式のどの部分を最初に計算するかを示す一連のルールです。これらのルールがないと、同じ式でも、解く人によって異なる答えが得られる可能性があります。
PEMDAS / BODMAS とは何ですか?
PEMDAS (米国で使用) と BODMAS (英国、インド、オーストラリアで使用) は、同じ一連のルールの頭字語であり、表現が若干異なるだけです。
| ペムダス | ボドマス |
|---|---|
| **括弧 | Bラケット |
| 指数 | **命令 (権力と根) |
| **乗算 | **分割 |
| **分割 | **乗算 |
| **追加 | **追加 |
| S抽出 | S抽出 |
順序は次のとおりです: **括弧 → 累乗 → 除算/乗算 → 加算/減算 **
注: 除算と乗算の優先順位は同じです (左から右)。加算と減算の優先順位は同じです (左から右へ)。
なぜこれらのルールが必要なのでしょうか?
合意された順序がなければ、CODE0 という式は曖昧になります。
- 先に足す場合: (2 + 3) × 4 = 5 × 4 = 20
- 先に掛ける場合: 2 + (3 × 4) = 2 + 12 = 14
合意されたルールでは、乗算は加算の前に行われるとされているため、正解は 14 です。
ルールの説明
1. 最初に括弧/丸括弧
括弧内にあるものは常に他のものより先に解決してください。
(3 + 4) × 2 = 7 × 2 = 14
ネストされた括弧: 最も内側から外側に向かって作業します。
2 × (3 + (4 − 1)) = 2 × (3 + 3) = 2 × 6 = 12
2. 指数/次数 (累乗と根)
括弧の後に、累乗または平方根を計算します。
2 + 3² = 2 + 9 = 11
4 × √16 = 4 × 4 = 16
3. 乗算と除算 (左から右)
これら 2 つの操作の優先順位は同じです。一緒に表示される場合は、左から右に作業します。
12 ÷ 4 × 3 = 3 × 3 = 9 ✓ (left to right)
12 ÷ 4 × 3 ≠ 12 ÷ 12 = 1 ✗ (doing × before ÷ is wrong)
4. 加算と減算 (左から右)
同じ原則 — 同じ優先順位で、左から右に作業します。
10 − 3 + 2 = 7 + 2 = 9 ✓
10 − 3 + 2 ≠ 10 − 5 = 5 ✗
実用的な例
例 1: 基本
8 + 2 × 5 − 3
= 8 + 10 − 3 (multiplication first)
= 18 − 3 (left to right)
= 15
例 2: ブラケットを使用する場合
(8 + 2) × (5 − 3)
= 10 × 2 (brackets first)
= 20
例 3: 指数を使用する
3 + 4² ÷ 2
= 3 + 16 ÷ 2 (exponent first)
= 3 + 8 (division before addition)
= 11
例 4: 複雑な
5 × (2 + 3)² − 10 ÷ 2
= 5 × 5² − 10 ÷ 2 (brackets first)
= 5 × 25 − 10 ÷ 2 (exponent)
= 125 − 5 (× and ÷ left to right)
= 120
例 5: 古典的なウイルス問題
CODE0 — この表現は、答えについて人々の意見が異なるため、定期的に広まります。
Step 1: Bracket → 1 + 2 = 3
Step 2: Expression becomes 6 ÷ 2 × 3
Step 3: Left to right → 6 ÷ 2 = 3, then 3 × 3 = 9
答えは9です。混乱が生じるのは、CODE0 を単一の用語として扱う人がいるからです。標準的な数学の規則では、除算と乗算は同じ優先順位を持ち、左から右に評価されます。
練習問題
答えを確認する前に、次のことを試してください。
- コード0
- コード0
- コード0
- コード0
- コード0
答え:
- 3 + 8 = 11
- 7 × 2 = 14
- 8 + 12 − 5 = 15
- 20 ÷ 5 × 4 = 4 × 4 = 16
- 6 + 2 × 9 − 2 = 6 + 18 − 2 = 22
よくある間違い
除算の前に乗算を厳密なルールとして扱う — 乗算と除算は同じ優先順位を持ちます。両方が同時に表示される場合は、常に左から右に作業します。
ネストされた括弧を裏返しに処理することを忘れる — 最初に最も内側の括弧を解決します。
間違った部分に指数を適用する — CODE0 では、指数は 3 にのみ適用され、 (-3)² = 9 ではなく -(9) = -9 になります。負の数を二乗する場合は括弧 CODE1 を使用します。
暗黙の乗算を無視します — CODE0 は CODE1 を意味します。明示的な乗算と同じルールに従います。
BODMAS と PEMDAS が同じ答えを与える理由
名前は異なりますが、両方の頭字語は同じ優先順位を表します。 BODMAS では、「DM」は除算と乗算を一緒に表します (優先順位が等しい)。 PEMDAS では、「MD」も同様に乗算と除算を合わせて表します。頭字語の順序は、乗算が除算よりも前に来るという意味ではなく、それらは等しいという意味です。
クイックリファレンスカード
| 優先度 | 手術 | 例 |
|---|---|---|
| 1位 | 括弧/括弧 | (3 + 4) |
| 2番目 | 指数/次数 | 23、√9 |
| 3番目= | 乗算 | 4 × 5 |
| 3番目= | 分割 | 20 ÷ 4 |
| 4番目= | 追加 | 7 + 3 |
| 4番目= | 引き算 | 10−4 |