이란 무엇인가 Black-Scholes Option Pricing?
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블랙숄즈 모델은 유럽식 옵션(의무는 아니지만 특정 미래 날짜에 고정 가격으로 주식을 매수(콜)하거나 매도(풋)할 수 있는 권리를 부여하는 계약)의 공정 가격을 계산합니다. 1973년 이전에는 옵션의 가격이 직관과 협상을 통해 결정되었습니다. Fischer Black과 Myron Scholes는 옵션 가격 책정을 관찰 가능한 5가지 입력을 통해 수학적 확실성으로 간주하는 단일 방정식으로 모든 것을 변경했습니다. 로버트 머튼(Robert Merton)의 개선과 함께 이 연구로 스콜스와 머튼은 1997년 노벨 경제학상을 받았으며 수백 조 달러 규모의 현대 파생상품 시장을 탄생시켰습니다. 이 모델은 주가가 일정한 변동성을 지닌 랜덤 워크를 따르고, 배당금이 없으며, 거래 비용 없이 지속적으로 거래할 수 있다고 가정합니다. 실제로 거래자들은 이를 벤치마크로 사용합니다. 즉, 주식이 얼마나 움직일지에 대한 시장의 합의 예측인 '내재 변동성'을 역해석하기 위해 현재 시장 가격을 입력합니다. 모든 옵션 거래자는 내재 변동성을 관찰합니다. 이는 옵션이 과거에 비해 저렴한지 비싼지를 알려주기 때문입니다. 내재변동성이 높으면 옵션 비용이 더 많이 듭니다. 낮으면 비용도 더 저렴합니다. 이 모델에는 알려진 한계가 있습니다. 즉, 극단적인 시장 움직임(두꺼운 꼬리)의 확률을 과소평가하고 조기에 행사할 수 있는 미국식 옵션을 분류하는 것입니다. 그러나 모든 옵션 가격 책정 및 위험 관리를 위한 보편적인 출발점으로 남아 있습니다.
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공식
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콜가격 = S·N(d₁) − K·e^(−rT)·N(d2)
풋 가격 = K·e^(−rT)·N(−d²) − S·N(−d₁)
d₁ = [ln(S/K) + (r + σ²/2)·T] / (σ·√T)
d² = d₁ − σ·√T
N(x) = 표준 정규 누적 분포 함수변수 설명
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| 기호 | 이름 | 단위 | 설명 |
|---|---|---|---|
| S | 현재 주가 | currency | 블랙 숄즈 계산에서 중요한 입력 매개변수 역할을 하며 계산된 출력 결과의 규모와 정확성에 직접적인 영향을 미치는 현재 주가 값 |
| K | 행사가격 | currency | 블랙 숄즈 계산에서 중요한 입력 매개변수 역할을 하며 계산된 출력 결과의 크기와 정확성에 직접적인 영향을 미치는 행사 가격 값 |
| r | 무위험비율 | % per year | 블랙 숄즈 계산에서 중요한 입력 매개변수 역할을 하며 계산된 출력 결과의 규모와 정확성에 직접적인 영향을 미치는 무위험 금리 값 |
| T | 만료 시간 | years | 옵션이 만료될 때까지 남은 시간(년 단위로 표시)(예: 90일 = 0.247년) |
| σ | 휘발성 | % per year | 주식 로그 수익률의 연간 표준 편차. 모델의 중요하고 관찰할 수 없는 입력 |
방법 Black-Scholes Option Pricing
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- 1현재 주가(S), 행사 가격(K), 무위험 금리(r), 만료 시간(T), 예상 변동성(σ) 등 5가지 입력을 수집합니다.
- 2d₁ 계산: 시간과 변동성에 맞게 조정된 옵션의 내가격이 얼마나 되는지 파악합니다.
- 3d² = d₁ − σ√T를 계산합니다. 이는 주식 경로의 불확실성을 위해 d₁ 하향 조정됩니다.
- 4표준 정규 분포에서 N(d₁) 및 N(d2)를 찾아보세요. 이는 옵션이 내가격에 만료될 확률을 나타냅니다.
- 5콜옵션의 경우: 주가에 N(d₁)을 곱한 다음 할인행사가에 N(d2)을 곱하여 뺍니다.
- 6풋의 경우 풋-콜 패리티 또는 직접 풋 공식을 사용하십시오. Put = Call − S + K·e^(−rT).
- 7모델 가격을 시장 가격과 비교하세요. 만약 서로 다르다면, 그 차이는 내재된 변동성이 시장의 실제 신호라는 다른 변동성 가정으로 설명됩니다.
풀어진 예시
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등가격 옵션(S=K)이 가장 일반적으로 거래됩니다. 가격은 변동성 변화에 가장 민감합니다.
주식이 행사 가격과 정확하게 일치하므로 옵션에는 내재 가치가 없습니다. $10.45는 모두 시간 가치입니다. 프리미엄의 약 절반은 주식이 100달러 이상으로 오를 가능성에서 비롯되며 이자율 요소(화폐의 시간 가치)는 행사에 대한 작은 할인을 설명합니다.
높은 변동성은 외가격 옵션 가격을 극적으로 부풀립니다. 즉, 주가가 25% 상승하려면 6개월이 걸립니다.
이 옵션은 20% 외가격임에도 불구하고 높은 내재변동성(40%)과 6개월 남았기 때문에 의미 있는 가치를 갖습니다. 연간 변동성이 40%라는 것은 6개월 동안 대략 ±25%의 움직임이 1표준편차 내에 있다는 것을 의미하며, 이는 $100까지의 상승이 그럴듯하다는 것을 의미합니다.
깊은 내가격 풋옵션의 가격은 내재가치(K−S=$30)에 가깝지만 시간 프리미엄은 적습니다.
해당 풋옵션은 지금까지 내가격에 속해 있기 때문에 내재가치 $30에 거의 가깝습니다. $30의 작은 할인은 기다리면서 얻은 무위험 이자를 반영합니다(또는 주식을 매도하고 $100를 3%에 투자할 수도 있음). 이 풋옵션이 내가격으로 만료될 것인지 여부에 대한 불확실성이 거의 없기 때문에 시간 프리미엄은 작습니다.
거래자들은 블랙숄즈를 역으로 사용하여 옵션 가격에서 시장의 변동성 예측을 추출합니다.
변동성이 20%인 모델 가격이 $5.50에 불과하지만 시장이 $8.00에 거래된다면 시장은 더 높은 변동성(약 28.5%)을 암시합니다. 이 내재된 변동성은 실제 신호입니다. 이는 시장이 평균보다 큰 움직임을 기대한다는 것을 알려줍니다. 거래자들은 옵션이 저렴한지 비싼지 결정하기 위해 내재된 변동성을 역사적 변동성과 비교합니다.
실제 적용
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전 세계 거래소의 주식, 지수 및 ETF 옵션 가격을 책정하여 실무자가 검증된 계산 방법 및 업계 표준 접근 방식을 기반으로 정보에 입각한 정량적 결정을 내릴 수 있도록 지원합니다. 이를 위해서는 증거 기반 결정, 전략적 자원 할당 및 다양한 조직 상황과 전문 분야에 걸친 성과 최적화를 지원하기 위한 정확한 정량 분석이 필요합니다.
재무 보고를 위한 직원 스톡 옵션 평가(ASC 718 / IFRS 2)를 통해 분석가는 기업 및 개인 환경 모두에서 계획, 평가 및 지속적인 개선 프로세스를 알려주는 신뢰할 수 있는 결과를 생성하기 위해 정확한 수치 계산이 필수적인 조직 전반에 걸쳐 전략적 계획, 자원 할당 및 성과 벤치마킹을 지원하는 정확한 결과를 생성할 수 있습니다.
VIX 지수 및 기타 변동성 벤치마크를 구축하기 위해 내재된 변동성을 추출하여 전문가가 결과를 체계적으로 정량화하고 신뢰할 수 있는 수학적 프레임워크와 확립된 공식을 사용하여 시나리오를 비교할 수 있도록 하며 일상적인 전문 활동에서 정량적 엄격함에 의존하는 이해관계자를 위해 원시 입력 데이터를 실행 가능한 통찰력으로 변환하는 체계적인 계산 접근 방식을 요구합니다.
모델에서 계산된 델타, 감마 및 베가를 사용하는 헤징 옵션 북은 규정 준수, 보고 및 최적화 목표에 수치 정밀도가 필수적인 데이터 기반 평가 프로세스를 지원하며 전문 환경에서 보고, 감사 및 장기 추세 분석에 적합한 일관되고 검증 가능한 결과를 제공하는 강력한 계산 방법이 필요합니다.
특수 경우
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배당주
표준모형은 배당금을 무시합니다. 알려진 배당금을 지급하는 주식의 경우 공식을 적용하기 전에 현재 주가에서 예상 배당금의 현재 가치를 뺍니다. 연속 배당 수익률(지수 옵션에 공통)의 경우 S를 S·e^(−qT)로 대체합니다. 여기서 q는 연속 배당 수익률입니다. 이는 Merton(1973) 확장입니다.
매우 짧거나 매우 긴 만료
만료일(일)이 가까워지면 주식이 행사가에 가까워지면 모델이 부정확한 결과를 생성할 수 있습니다. 확률 함수는 작은 입력 변화에 매우 민감해집니다. 기간이 매우 긴 옵션(LEAPS, 2년 이상)의 경우 금리 불확실성과 평균 회귀 경향으로 인해 지속적인 변동성 가정이 점점 더 비현실적으로 변합니다.
바이너리 및 장벽 옵션
표준 형식의 Black-Scholes는 장벽(가격 임계값에서 활성화 또는 비활성화하는 옵션) 또는 바이너리(조건이 충족되는 경우 고정 보수)와 같은 이국적인 옵션의 가격을 책정하지 않습니다. Black-Scholes 빌딩 블록이 파생에 나타나더라도 이를 위해서는 수정된 공식이나 수치 방법이 필요합니다.
대략적인 콜 옵션 가격 — S=$100, r=4%, T=0.5년
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| 타격(K) | σ=15% | σ=25% | σ=35% | σ=50% |
|---|---|---|---|---|
| $80 (깊은 ITM) | $21.50 | $22.60 | $24.10 | $26.80 |
| $95 (약간의 ITM) | $7.80 | $9.90 | $12.10 | $15.30 |
| $100 (ATM) | $4.30 | $7.10 | $9.80 | $13.50 |
| $105 (약간의 OTM) | $2.00 | $4.90 | $7.60 | $11.40 |
| $120 (깊은 OTM) | $0.10 | $1.20 | $3.20 | $7.00 |
자주 묻는 질문
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내재변동성이란 무엇이며 왜 중요한가요?
내재변동성(IV)은 블랙숄즈 공식에 연결될 때 옵션의 현재 시장 가격을 생성하는 변동성 값입니다. 이는 미래 가격 변동에 대한 시장의 합의된 예측을 나타냅니다. IV가 높으면 옵션 가격이 비싸집니다. 시장은 큰 움직임을 두려워합니다. IV가 낮으면 옵션이 저렴해집니다. 거래자는 현재 IV를 과거 변동성과 비교하여 가격이 높거나 낮은 옵션을 찾습니다. 흔히 '공포 게이지'라고 불리는 VIX 지수는 S&P 500 옵션의 내재 변동성을 나타냅니다.
Black-Scholes가 미국식 옵션의 가격을 정확하게 책정할 수 없는 이유는 무엇입니까?
미국식 옵션은 만료 전 언제든지 행사될 수 있으며, 이는 Black-Scholes가 폐쇄형 공식으로 포착할 수 없는 조기 행사 프리미엄을 생성합니다. 배당금을 지급하지 않는 주식에 대한 미국식 콜의 경우 조기 행사는 결코 최적이 아니므로(옵션을 매도하는 것이 더 나을 것임) 블랙숄즈 콜 가격이 정확합니다. 배당금 지급 주식에 대한 미국식 풋 및 콜의 경우 실무자들은 이항 트리(Cox-Ross-Rubinstein 모델) 또는 유한 차분 체계와 같은 수치적 방법을 사용합니다.
변동성 미소란 무엇이며 왜 발생합니까?
Black-Scholes가 완벽하게 정확하다면 내재 변동성은 모든 행사 가격에서 일정할 것입니다. 실제로 외가격 풋옵션(사고보험)은 등가격 옵션보다 더 높은 내재 변동성에서 거래되며, 외가격 콜옵션도 IV가 상승하는 경우가 있습니다. 변동성 스마일 또는 스큐라고 불리는 이 패턴은 Black-Scholes가 과소평가하는 테일 이벤트에 대한 시장 참가자의 두려움을 반영합니다. 이는 1987년 주식 시장 붕괴 이후 두드러지게 나타났습니다.
델타는 옵션에 대해 무엇을 알려줍니까?
델타(∂V/∂S)는 주식이 1달러 움직일 때 옵션 가격이 얼마나 변하는지 알려줍니다. 델타 0.60은 주가가 1달러 상승할 때 옵션 가격이 0.60달러 증가한다는 의미입니다. 또한 델타는 옵션이 내가격에 만료될 확률을 대략적으로 계산합니다. 0.60 델타 콜옵션은 내가격에 만료될 확률이 대략 60%입니다. 거래자는 헤징을 위해 델타를 사용합니다. '델타 중립'이 되려면 방향성 노출을 상쇄하기 위해 옵션의 델타에 비례하여 주식을 보유해야 합니다.
시간 가치 하락(세타)은 옵션 가치에 어떤 영향을 미치나요?
옵션은 만료일이 다가올수록 가치를 잃습니다. 이러한 침식을 시간 가치 하락 또는 세타라고 합니다. 다른 모든 조건이 동일하다면 옵션은 단순히 시간이 지남에 따라 매일 가치를 잃습니다. 등가격 옵션은 절대적 기준으로 가장 높은 시간 가치 하락을 보입니다. 깊은 내가격 또는 먼 외가격 옵션의 세타는 더 낮습니다. 이것이 바로 옵션 구매 시 지속적인 시간 가치 침식을 상쇄할 만큼 주식이 충분히 움직여야 하는 이유입니다. 옵션 구매자는 포지션을 유지하는 동안 매일 시간 가치 하락과 싸워야 합니다.
암호화폐 옵션에 Black-Scholes를 사용할 수 있습니까?
예, 중요한 주의사항이 있습니다. Black-Scholes는 적절한 내재 변동성을 입력하면 암호화폐 옵션의 가격을 책정할 수 있습니다. 비트코인 옵션은 Deribit 및 CME에서 거래되며 IV 범위는 종종 50~150%로 주식 시장보다 훨씬 높습니다. 모델의 지속적인 변동성 가정은 변동성 자체의 변동성이 매우 높은(종종 'vol of vol'이라고 함) 암호화폐의 경우 훨씬 더 위반됩니다. 확률적 변동성을 허용하는 SABR 또는 Heston과 같은 보다 정교한 모델은 정확한 암호화폐 옵션 가격 책정에 더 적합합니다.
피셔 블랙은 누구였으며 왜 그는 노벨상 수상자가 아닌가?
Fischer Black은 Myron Scholes와 함께 모델을 공동 개발한 응용 수학자이자 금융 경제학자였습니다. 그는 Goldman Sachs에서 이 모델을 실제로 적용하면서 일했습니다. 1997년 노벨 경제학상은 옵션 가격 결정 방법론에 대한 연구로 스콜스와 로버트 머튼에게 수여되었습니다. 피셔 블랙은 수상 2년 전인 1995년 8월 인후암으로 사망했습니다. 노벨상은 사후에 수여되지 않기 때문에 블랙은 명시적으로 인정을 받았지만 상을 받을 수 없었다.
피해야 할 일반적인 실수
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- !과거 변동성을 직접 사용 - 모델은 과거가 아닌 내재된 변동성 또는 미래 예측 추정치를 사용해야 합니다. 최근의 과거 거래량을 사용하면 수익과 같은 변동성이 큰 이벤트 이전에 옵션의 가격이 낮아질 수 있습니다.
- !연도로 변환하지 않고 시간을 일 단위로 연결합니다. T는 연 단위여야 합니다(거래일의 경우 일/365 또는 일/252).
- !배당금 지급 주식에 대한 배당금 무시 - 배당금 조정을 생략하면 콜옵션이 상당히 과대평가되고 과소평가되면 권리락일에 가까운 배당금 지급자에게 부담이 됩니다.
- !모델 출력을 '올바른' 시장 가격으로 취급 - 모델은 벤치마크입니다. 실물 옵션은 수요와 공급, 유동성에 의해 결정되는 가격으로 거래됩니다.
전문가 팁
행사가나 만기일에 걸쳐 옵션을 비교할 때는 옵션 가격보다는 내재변동성을 비교하십시오. 옵션은 달러 기준으로는 저렴해 보이지만 변동성 측면에서는 비싸 보일 수 있습니다. 항상 행사가와 만기일에 걸쳐 내재된 변동성을 나타내는 3D 맵인 IV 표면을 보고 정규화하여 상대적 가치 기회를 파악하세요.
알고 계셨나요?
블랙숄즈 모델을 통해 CBOE(Chicago Board Options Exchange)는 문자 그대로 논문이 출판된 달인 1973년 4월에 문을 열 수 있었습니다. 10년 이내에 옵션 거래량은 일일 계약 수 천 건에서 수백만 건으로 폭발적으로 증가했습니다. 이 공식은 매우 영향력이 커서 Texas Instruments는 출판 직후 Black-Scholes로 사전 프로그래밍된 특수 휴대용 계산기를 생산했습니다.
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참고 자료
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