अविभाज्य संख्या ही 1 पेक्षा मोठी असलेली पूर्ण संख्या असते ज्यामध्ये दोन घटक असतात: 1 आणि स्वतः. अविभाज्य संख्या हे सर्व पूर्णांकांचे बिल्डिंग ब्लॉक्स आहेत — प्रत्येक पूर्ण संख्या अविभाज्यांचे गुणाकार म्हणून व्यक्त केली जाऊ शकते.

पहिली २५ प्राइम संख्या

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97

लक्षात घ्या की 2 ही एकमेव सम मूळ संख्या आहे. इतर सर्व सम संख्यांना 2 ने भाग जातो.

पद्धत 1: चाचणी विभाग

संख्या अविभाज्य आहे की नाही हे तपासण्याचा सर्वात सोपा मार्ग - त्याच्या वर्गमूळापर्यंत कोणतीही संख्या समान रीतीने विभाजित करते का ते तपासा.

मुख्य अंतर्दृष्टी: जर n मध्ये √n पेक्षा मोठा घटक असेल, तर त्याचा संबंधित घटक देखील √n पेक्षा कमी असेल. त्यामुळे तुम्हाला फक्त √n पर्यंत तपासावे लागेल.

अल्गोरिदम:

  1. n < 2 असल्यास, अविभाज्य नाही
  2. जर n = 2, अविभाज्य
  3. जर n सम असेल तर (2 सोडून), अविभाज्य नाही
  4. 3 ते √n पर्यंतच्या सर्व विषम संख्या तपासा
  5. जर n समान रीतीने विभाजित केले तर अविभाज्य नाही
  6. अन्यथा, अविभाज्य

उदाहरण: ९७ प्राइम आहे का?

√97 ≈ 9.85, म्हणून 9: 2, 3, 5, 7 पर्यंत प्राइम तपासा

  • 97 ÷ 2 = 48.5 (संपूर्ण नाही)
  • 97 ÷ 3 = 32.33... (संपूर्ण नाही)
  • 97 ÷ 5 = 19.4 (संपूर्ण नाही)
  • 97 ÷ 7 = 13.86 (संपूर्ण नाही)

कोणतेही विभाजक आढळले नाहीत — 97 प्राइम आहे.

उदाहरण: ९१ प्राइम आहे का?

√91 ≈ 9.54, 9: 2, 3, 5, 7 पर्यंत तपासा

  • 91 ÷ 7 = 13 (संपूर्ण संख्या!)

91 अविभाज्य नाही — 91 = 7 × 13.

पद्धत 2: इराटोस्थीनची चाळणी

इराटोस्थेनिसची चाळणी दिलेल्या मर्यादेपर्यंत सर्व प्राइम शोधते. हे वेगवान आणि मोहक आहे, सुमारे 240 ईसापूर्व ग्रीक गणितज्ञ एराटोस्थेनिसने शोधले होते.

50 पर्यंत सर्व प्राइम शोधण्यासाठी:

  1. संख्या 2 ते 50 लिहा
  2. 2 (प्रथम प्राइम) ने प्रारंभ करा. 2 चे सर्व गुणाकार पार करा (4, 6, 8...)
  3. पुढील अनक्रॉस केलेल्या संख्येकडे जा: 3. 3 चे गुणाकार क्रॉस करा (9, 15, 21...)
  4. पुढील अनक्रॉस केलेले: 5. 5 (25, 35...) च्या पटीत पार करा
  5. पुढील अनक्रॉस केलेले: 7. 7 चे गुणाकार पार करा (49...)
  6. तुम्ही √50 ≈ 7.07 वर पोहोचल्यावर थांबा
  7. उरलेल्या सर्व अक्रोस केलेल्या संख्या अविभाज्य आहेत

50 पर्यंत प्राइम: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47

100 पर्यंत प्राइम: संपूर्ण यादी

श्रेणी प्राइम्स
1-10 2, 3, 5, 7
11-20 11, 13, 17, 19
21-30 23, 29
31-40 31, 37
४१-५० 41, 43, 47
५१-६० 53, 59
६१-७० 61, 67
71-80 71, 73, 79
८१-९० 83, 89
91-100 97

100 च्या खाली 25 प्राइम आहेत.

जलद विभाज्यता चाचण्या

पूर्ण विभाजन करण्यापूर्वी, हे नियम तपासा:

ने विभाज्य जर...
2 शेवटचा अंक सम आहे (0,2,4,6,8)
3 अंकांची बेरीज 3 ने भाग जाते
5 शेवटचा अंक 0 किंवा 5 आहे
7 कोणताही साधा नियम नाही - फक्त विभाजित करा
11 पर्यायी अंकांची बेरीज 11 ने निःशेष भाग जाते

उदाहरण: १४३ अविभाज्य आहे का?

  • अगदी नाही ✓
  • 1+4+3 = 8, 3 ने भाग जात नाही ✓
  • 0 किंवा 5 ✓ मध्ये संपत नाही
  • √143 ≈ 11.96, 11 पर्यंत तपासा
  • 143 ÷ 7 = 20.43 ✓
  • 143 ÷ 11 = 13 — विभाज्य!

१४३ = ११ × १३. अविभाज्य नाही.

प्राइम्स मॅटर का

क्रिप्टोग्राफी: RSA एन्क्रिप्शन — इंटरनेट बँकिंग, HTTPS आणि ईमेल सुरक्षित करण्यासाठी वापरले जाते — या वस्तुस्थितीवर अवलंबून आहे की दोन मोठ्या प्राइम्सचा गुणाकार करणे सोपे आहे, परंतु परिणाम परत प्राइममध्ये फॅक्टर करणे अत्यंत कठीण आहे.

संगणक विज्ञान: हॅश टेबल्स, रँडम नंबर जनरेटर आणि चेकसम्स अविभाज्य संख्यांचे गुणधर्म वापरतात.

शुद्ध गणित: अविभाज्यांचे वितरण हे गणितातील सर्वात खोल न सुटलेल्या समस्यांपैकी एक आहे - रिमन हायपोथिसिस.

स्वारस्यपूर्ण प्राइम तथ्ये

  • सर्वात मोठ्या ज्ञात प्राइममध्ये (2024 पर्यंत) 41 दशलक्ष अंक आहेत
  • ट्विन प्राइम्स हे प्राइम आहेत जे 2 ने भिन्न असतात (11 आणि 13, 17 आणि 19, 41 आणि 43)
  • अमर्यादपणे अनेक प्राइम आहेत - सुमारे 300 ईसापूर्व युक्लिडने सिद्ध केले
  • गोल्डबॅकचे अनुमान (1742 पासून अप्रमाणित): प्रत्येक सम संख्या > 2 ही दोन अविभाज्यांची बेरीज आहे

पुढे वाचा