Een derdegraadsvergelijking is een polynoom van graad 3, met de algemene vorm ax³ + bx² + cx + d = 0. In tegenstelling tot kwadratische vergelijkingen kunnen derdegraadsvergelijkingen 1, 2 of 3 reële oplossingen hebben en hebben ze geen eenvoudige formule in gesloten vorm die de meeste mensen op school leren. Ze zijn echter oplosbaar met behulp van de formule van Cardano of numerieke methoden.
Het algemene formulier
ax³ + bx² + cx + d = 0
Waarbij a ≠ 0 (anders is het niet kubisch). De vergelijking kan hebben:
- 3 verschillende echte wortels
- 1 echte wortel en 2 complexe geconjugeerde wortels
- Een herhaalde wortel (wanneer de discriminant gelijk is aan nul)
Cardano's formule
Om de formule van Cardano te gebruiken, drukt u eerst de kubieke waarde in (elimineer de term x²) door x = t - b/(3a) te vervangen:
t³ + pt + q = 0
Vervolgens worden de wortels gevonden met behulp van een complexe formule waarbij de discriminant betrokken is:
Δ = -4p³ - 27q²
Als Δ > 0: drie verschillende echte wortels Als Δ = 0: minimaal twee gelijke reële wortels Als Δ < 0: één echte wortel en twee complexe geconjugeerde wortels
Uitgewerkt voorbeeld
Los x³ - 6x² + 11x - 6 = 0 op
Door inspectie of proefneming kunnen we kleine gehele getallen testen. Testen x = 1:
1 - 6 + 11 - 6 = 0 ✓
Dus x = 1 is een wortel. Uitbesteden (x - 1):
(x - 1)(x² - 5x + 6) = 0
(x - 1)(x - 2)(x - 3) = 0
De drie wortels zijn x = 1, 2, 3.
Wortels vinden zonder factoring
Voor derdegraadsvergelijkingen die niet goed met elkaar samenhangen, gebruik je:
- Cardano's formule (algebraïsch exact maar ingewikkeld)
- Numerieke methoden zoals Newton-Raphson (iteratief, vindt wortel voor wortel)
- Grafieken maken om wortels te schatten en te verfijnen met Newton-Raphson
Toepassingen
Kubieke vergelijkingen verschijnen in:
- Engineering (spannings-rekanalyse, vloeistofdynamica)
- Fysica (projectielbeweging in weerstandsmedium, kubieke materialen)
- Economie (optimalisatieproblemen, productiekostencurven)
- Computergraphics (kubieke Bézier-curven)
Tips
Als je rationale wortels vermoedt, gebruik dan de Rationele Wortelstelling: elke rationale wortel p/q heeft p die d deelt en q die a deelt. Dit beperkt uw testkandidaten aanzienlijk. Controleer wortels altijd door vervanging.
Gebruik onze Cubic Equation Solver om direct alle wortels te vinden, of ze nu reëel of complex zijn.